Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 7., Lineáris algebra II.

Szerző Csordásné Marton Melinda (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

7.2 Vektortér

7.2 Vektortér

Ebben a fejezetben egy olyan algebrai fogalmat, a valós vektorteret vezetjük be, amelynek segítségével a lineáris egyenletrendszerek elmélete általánosabban, absztrakt megközelítésben tárgyalható.

Egy nemüres halmazt valós vektortérnek nevezzük, ha az alábbi axiómák teljesülnek:

A halmazon értelmezve van egy összeadás művelet, amely bármely elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy -beli -vel jelölt elemet.

Az összeadás tulajdonságai:

  1. Az összeadás kommutatív, azaz bármely elemre

  2. Az összeadás asszociatív, azaz bármely elemre

  3. Létezik nullelem, azaz van olyan , amellyel bármely elemre

  4. Minden elemnek létezik ellentettje, azaz bármely elemhez létezik olyan amelyre

A valós számok halmaza és a halmaz között értelmezve van egy skalárral való szorzásnak nevezett művelet az alábbi módon: bármely és elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy -beli elemet, amelyet -vel jelölünk.

A skalárral való szorzás tulajdonságai:

  1. Bármely és esetén

  2. Bármely és esetén

  3. Bármely és esetén

  4. Bármely esetén .

A halmaz elemeit vektoroknak, elemeit skalároknak nevezzük. A vektorokat vastag betűkkel fogjuk továbbra is jelölni.

A vektortér megadásához megadjuk a vektorok halmazát, értelmezünk két műveletet az összeadást és a skalárral való szorzást, és ellenőrizzük, hogy az axiómák teljesülnek-e.

Példák vektorterekre:

  1. Az origóból induló sík illetve térvektorok a szokásos vektorösszeadásra és skalárral való szorzásra nézve.

  2. Az típusú mátrixok, az előző modulban bevezetett mátrixműveletekre nézve.

  3. A valós számsorozatok, a szokásos műveletekre nézve.

Egy vektortér egy nemüres részhalmazát altérnek nevezzük -ben, ha maga is vektortér ugyanazokra a -beli műveleteknek -beli megszorításaira nézve.

Az altér nem egyszerűen részhalmaza az adott vektortérnek, mert az altér definíciója sokkal mélyebb követelményeket támaszt. Annak az eldöntésében, hogy altér-e segít a következő tétel:

Egy vektortérben egy W nemüres részhalmaz pontosan akkor altér, ha

  1. esetén

  2. esetén

Legyen vektortér, és .

Ekkor a vektort az vektorok skalárokkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük.

Az vektorokat a vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha minden eleme előáll az vektorok lineáris kombinációjaként.

Az vektorok által generált altéren az vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük. Ezek alteret alkotnak, amit -nel jelöljük.

Az vektorok lineárisan összefüggők, ha vannak olyan skalárok, amelyek nem mind nullák, és .

Az vektorok lineárisan függetlenek, ha csak akkor teljesül, amikor minden . Azaz

Egy vektor lineárisan függ az vektoroktól, ha előállítható az vektorok lineáris kombinációjaként.

Bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.

Az vektortér triviális bázisának nevezzük az egységvektorokból álló bázist.

Belátható, hogy egy vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Egy vektortér dimenzióján egy bázisának az elemszámát értjük. Ha a vektortérnek nincs véges bázisa, akkor a dimenziója végtelen. A tér dimenziója 0.

Az vektorrendszer rangja , ha az vektorok között található lineárisan független, de már nem.

Az vektorok által generált altér dimenziója az vektorrendszer rangja.

Legyen egy rögzített bázis vektortérben. Ekkor minden egyértelműen felírható alakban. Az skalárokat a vektornak a bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

7.2.1 Feladatok

  1. Egy polinomot -fel, a polinom fokszámát -fel, a polinom együtthatóit -vel a főegyütthatót -nel jelöljük.

    Ha az és , akkor jelentse a két polinom összegét az , és ha , akkor jelentse a polinom skalárral való szorzatát a .

    Vektorteret alkotnak-e a valós együtthatós polinomok alábbi részhalmazai a valós test felett?

    1. A pontosan 10-ed fokú polinomok:

    2. A legfeljebb 10-ed fokú polinomok:

    3. A legalább 10-ed fokú polinomok .

  2. Döntsük el, hogy a valós számsorozatok alábbi részhalmazai vektorteret alkotnak-e, ha a műveleteket a szokásos módon értelmezzük. A számsorozatokat -nel jelöljük.

    1. A korlátos sorozatok.

    2. A konvergens sorozatok.

    3. A monoton növő sorozatok.

    4. A monoton sorozatok.

  3. Döntsük el, hogy az . függvények alábbi részhalmazai vektorteret alkotnak-e? A függvények összeadását és skalárral való szorzását a szokásos módon értelmezzük.

    1. A folytonos függvények.

    2. A periodikus függvények.

  4. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

    1. Ha egy generátorrendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor ismét generátorrendszert kapunk.

    2. Ha egy legalább kételemű generátorrendszerből egy tetszőleges vektort elhagyunk, akkor ismét generátorrendszert kapunk.

    3. Minden legalább kételemű generátorrendszerben van olyan vektor, amelyet elhagyva a maradék vektorok továbbra is generátorrendszert alkotnak.

    4. Ha egy generátorrendszerben van két azonos vektor, akkor ezek egyikét elhagyva a maradék rendszer továbbra is generátorrendszer marad.

    5. Ha egy generátorrendszerben van két azonos vektor, akkor ezek mindegyikét elhagyva a maradék rendszer továbbra is generátorrendszer marad.

    6. Egy legalább kételemű generátorrendszerben akkor és csak akkor van olyan vektor, amelyet elhagyva a maradék vektorok továbbra is generátorrendszert alkotnak, ha a generátorrendszer valamelyik eleme felírható a többi elem lineáris kombinációjaként.

  5. Hogyan változnak egy vektor koordinátái, ha a bázisban

    1. két elemet felcserélünk,

    2. az egyik báziselemet egy nemnulla skalárral megszorozzuk,

    3. az egyik báziselemhez egy másik -szorosát hozzáadjuk.

  6. Adjuk meg az összes olyan vektort, amelynek a koordinátái bármely bázisban ugyanazok.

  7. Tekintsük -ban a bázist. Adjuk meg ebben a bázisban az , vektorok koordinátáit!

  8. Adott két vektor: . Határozzuk meg az vektor koordinátáit az bázisra vonatkozóan!

Megoldások:

  1. a) nem, b) igen, c) nem.

  2. a) igen, b) igen, c) nem, d) nem.

  3. a) igen, b) nem.

  4. a) igaz, b) hamis, c) hamis, d) igaz, e) hamis, f) igaz.

  5. a) A megfelelő két koordináta megcserélődik.

    b) Az adott koordináta -val szorzódik.

    c) Ha az eredeti koordináták és , akkor az új koordináták és lesznek.

  6. Csak a nullvektor ilyen.

  7. Keressük azokat az koordinátákat, amelyekre

    Legyen akkor

    A keresett koordináták:, a másik két vektor esetében rendre és

    Ellenőrzés:

  8. Tehát az vektor koordinátái az bázisra vonatkozóan: .