Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 7., Lineáris algebra II.

Szerző Csordásné Marton Melinda (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

7.3 A bázistranszformáció és alkalmazásai

7.3 A bázistranszformáció és alkalmazásai

A 7.2.1 fejezet 8. feladat megoldásánál láthattuk, hogy lehetőség van a vektortér egyik bázisáról egy másik bázisra áttérni. Megmutattuk, hogy számíthatjuk ki egy adott vektor koordinátáit ebben az új bázisban.

A vektortér egy bázisáról a vektortér egy másik bázisára való áttérést bázistranszformációnak nevezzük. A bázistranszformációnak azt a speciális esetét, amikor a két bázis csak egy vektorban tér el egymástól elemi bázistranszformációnak nevezzük.

Legyenek a vektortér egy bázisa. Legyen tetszőleges vektor, amelynek koordinátái az adott bázisra vonatkozóan . Belátható, hogy ha , akkor vektorok is bázist alkotnak vektortérben. A vektor annyi bázisvektor helyére vihető be, ahány zérustól különböző koordinátája van.

Vizsgáljuk meg, hogy az új bázisra való áttérés milyen változást okoz egy tetszőleges vektor koordinátáiban.

Legyen tetszőleges vektor, amelyek a bázisvektorok fel-használásával az alakban, a vektor pedig a alakban írható.

Fejezzük ki a vektort ( egyenletből:

Az így kapott vektort helyettesítsük a egyenletbe:

A kapott egyenletből az -val szorzás, és a lehetséges összevonásokat követően a következő egyenletet kapjuk:

+

.

A jobb áttekinthetőség kedvéért foglaljuk az eredményeket az alábbi táblázatba:

1. ábra

A könnyebb számolás kedvéért tekintsük át a következő formalizmust.

Az vektor koordinátáit az új bázisban az alábbiak szerint határozzuk meg: A generáló elem sorában lévő koordinátát, azaz koordinátát osztjuk a generáló elemmel.

Az vektor első koordinátáját az új bázisban úgy határozhatjuk meg, hogy a táblázatban, a piros kerettel jelölt téglalapban, csak a téglalap csúcsaiban lévő elemekkel kell számolnunk. Az koordinátából kivonjuk a nyíllal jelölt elemek szorzatának és a generátor elemnek a hányadosát. Az koordináta meghatározásához majd használjuk a zöld téglalapot, az eljárás hasonló. A többi koordináta is kiszámolható egy-egy megfelelő téglalap csúcsaiban található számokkal dolgozva.

Példa: Adott két vektor, . Ezeknek a vektoroknak a koordinátái az triviális bázisra vonatkoznak. Határozzuk meg az vektor koordinátáit az bázisra vonatkozóan.

2. ábra

Tehát .

7.3.1 Vektorrendszer rangjának a meghatározása

Egy vektorrendszer rangjának a meghatározása a vektorrendszerben található lineárisan független vektorok számának megállapításával történik. Az előző modulban már láttunk erre megoldásokat, de most ezt a feladatot az elemi bázistranszformációval fogjuk végezni. Látni fogjuk, hogy ez a megoldás azzal az előnnyel jár, hogy kevesebb számolással jutunk ugyanahhoz a végeredményhez.

Példa: Tekintsük az vektorokat. Állapítsuk meg a vektorrendszer rangját, és adjuk meg, hogy milyen összefüggés van a vektorok között!

Tekintsük az alábbi táblázatot. Első lépésként az vektor kerül az vektor helyére. Az első sorból már választottunk generáló elemet, ezért csak a második, harmadik vagy negyedik sorból választhatunk ismét. A második sor minden eleme nulla, és nullát nem választhatunk generáló elemnek. A választásához szóba jöhető sor a harmadik és a negyedik. Mi a harmadik sort választottuk. Ezért a következő lépésben az vektor kerül az vektor helyére. További transzformációt már nem tudunk végezni, mert a második és a negyedik sorban csak nullák szerepelnek. Az új bázis: amelyben felírhatjuk új koordinátáit.

7.3.2 Kompatibilitás

A vektor kompatibilis az vektorok által generált altérrel, ha eleme ennek az altérnek, azaz felírható az vektorok lineáris kombinációjaként.

Példa: Legyen és .

Állapítsuk meg az vektorrendszer rangját, és döntsük el, hogy a vektor kompatibilis-e az vektorokkal. Írjuk fel a vektort az vektorok lineáris kombinációjaként.

A megoldást elemi bázistranszformációval végezzük.

4. ábra

Mivel az vektorok mindegyike felírható az lineáris kombinációjaként, a vektorrendszer rangja kettő.

Mivel , ezért kompatibilis az vektorrendszerrel.

7.3.3 Mátrix rangjának a meghatározása

A hatodik modulban definiáltuk, hogy az mátrix oszloprangja , ha oszlopvektorai között található lineárisan független, de -nél több lineárisan független oszlopvektor már nem.

Az mátrix sorrangja , ha sorvektorai között található lineárisan független, de -nél több lineárisan független sorvektor már nem.

Belátható, hogy egy mátrix oszloprangja és sorrangja egymással megegyezik, ezért ezeket röviden a mátrix rangjának nevezzük. Ennek ismeretében a mátrix rangjának a meghatározásához elegendő a mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangját meghatározzuk, amely ugyanúgy történik, mint ahogy azt a 7.3.1 fejezetben bemutattuk.

Példa: Határozzuk meg az mátrix rangját!

5. ábra

A mátrix rangja kettő.

7.3.4 Lineáris egyenletrendszerek megoldása bázistranszformációval

Az lineáris egyenletrendszer pontosan akkor megoldható, ha a vektor kompatibilis az együtthatómátrix oszlopvektorterével.

Példa: Oldjuk meg elemi bázistranszformációval a következő egyenletrendszert!

A számításokat az előző példák alapján végezzük, de a táblázatban az oszlopvektorok alatt az oszlopvektorokhoz tartozó ismeretleneket is jelöljük.

Továbbá, a generáló elem oszlopát is tovább szerepeltetjük a táblázatban úgy, hogy a generáló elem helyett 1-et írunk, az összes többi elem pedig nulla. Látni fogjuk, hogy ezzel a jelöléssel az utolsó táblázatból a lineáris egyenletrendszer megoldása könnyen láthatóvá válik.

A táblázat elkészítését követően az egyenletrendszer megoldásának befejezéséhez több lehetőség közül választhatunk. Az egyik lehetőség szerint abból indulunk ki, hogy a vektor felírható az vektorok lineáris kombinációjaként, továbbá és .

Tudjuk, hogy az egyenletrendszer úgy írható, hogy , ahol az együtthatómátrix oszlopvektorai és az ismeretlenek.

Helyettesítsük az egyenletbe a vektorokra kapott összefüggéséket:

Az egyenletet nullára redukálva és rendezve azt kapjuk, hogy:

Mivel az vektorok lineárisan független rendszert alkotnak, ezért a lineáris függetlenség definíciója szerint:

ahol szabad ismeretlenek.

Ez a megoldás szemléletesen mutatja a lineáris függetlenség és az egyenletrendszer megoldhatósága közötti kapcsolatot. A bázistranszformáció lépéseit tartalmazó táblázat pedig egy gyors és áttekinthető számolási algoritmust mutat az oszlopvektorok közötti összefüggések megállapítására.

Tudunk azonban egy ennél még gyorsabb megoldást is bemutatni. Az elemi bázistranszformáció lépéseinél voltaképp mindig egymással ekvivalens egyenletrendszereket írtunk fel. Az utolsó táblázathoz tartozó egyenletrendszer:

Természetesen ezt soha nem kell így leírnunk, de a jobb megértés kedvéért most tegyük meg. Vegyük észre, hogy ha Gauss eliminációval oldottuk volna meg a feladatot ugyanehhez az eredetivel ekvivalens egyenletrendszerhez jutottunk volna, némileg hosszabb számolás után. Innen a megoldás már az ismert algoritmus szerint folyik:

Általános megoldás:

Szabad ismeretlenek: .

Az utolsó táblázat első sorából felírjuk, hogy .

A táblázat második sorából felírhatjuk, hogy: .

Kötött ismeretlenek: és .

Partikuláris megoldás: szabadon választható. Legyen pl. ekkor .

Bázismegoldás: A szabad ismeretleneket nullának választva: .

Leolvasható, hogy az együtthatómátrix rangja kettő.

7.3.5 Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldása bázistranszformációval

Az homogén lineáris egyenletrendszernek akkor van triviálistól különböző megoldása, ha az együtthatómátrix oszlopvektortere lineárisan összefüggő rendszert alkot.

Példa: Oldjuk meg az alábbi homogén lineáris egyenletrendszert:

A bázistranszformáció táblázata hasonló az előzőekhez, de itt a vektort nem szerepeltetjük, mert ez a transzformáció során végig nulla marad.

Általános megoldás:

Szabad ismeretlen: .

A táblázat második sorának utolsó része alapján felírhatjuk, hogy: .

A táblázat első sorának utolsó része alapján felírhatjuk, hogy .

Kötött ismeretlenek: és .

Partikuláris megoldás:

A szabad ismeretlen választása esetén és .

7.3.6 Feladatok

Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket elemi bázistranszformációval.

Adjuk meg a partikuláris és bázismegoldást is!

Milyen összefüggések mondhatók az együtthatómátrix oszlopvektorterére? Kompatibilis-e a vektor az együtthatómátrix oszlopvektorterével? Mennyi az együtthatómátrix rangja?

  1. Határozzuk meg az paraméterek értékét úgy, hogy az alábbi lineáris egyenletrendszereknek

    1. ne legyen megoldása

    2. pontosan egy megoldása legyen,

    3. végtelen sok megoldása legyen!

Megoldások:

  1. A bázistranszformáció táblázata:

    Az együtthatómátrix oszlopvektorterére mondható állítások:

    Az együtthatómátrix rangja .

    Általános megoldás:

    Kötött ismeretlenek: , .

    Szabad ismeretlenek: .

    Bázismegoldás:

    Partikuláris megoldás: .

  2. A bázistranszformáció táblázata:

    10. ábra

    Az együtthatómátrix oszlopvektorterére mondható állítások:

    Az együtthatómátrix rangja

    Általános megoldás:

    Kötött ismeretlenek:

    Szabad ismeretlen: .

    Bázismegoldás:

    Partikuláris megoldás:

  3. A bázistranszformáció táblázata:

    11. ábra

    Az együtthatómátrix oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

    Az egyenletrendszernek egy megoldása van:

    Az együtthatómátrix rangja .

  4. 12. ábra

    Az együtthatómátrix oszlopvektorterére mondható állítások:

    Az együtthatómátrix rangja

    Általános megoldás:

    Kötött ismeretlenek:

    Szabad ismeretlen: .

    Bázismegoldás:

    Partikuláris megoldás: .

  5. 13. ábra

    Az együtthatómátrix oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

    Az egyenletrendszernek egy megoldása van: .

    Az együtthatómátrix rangja .

  6. 14. ábra

    Az egyenletrendszernek nincs megoldása, mert a kékkel jelölt sor tilos sora:

    .

  7. Általános megoldás: szabad ismeretlenek,

    kötött ismeretlenek.

  8. A homogén lineáris egyenletrendszer táblázata:

    15. ábra

    Az együtthatómátrix oszlopvektorterére mondható állítások:

    Az együtthatómátrix rangja .

    Általános megoldás:

    Kötött ismeretlenek:

    Szabad ismeretlenek:

  9. Általános megoldás: szabad ismeretlen.

    Kötött ismeretlenek: .

  10. A bázistranszformáció alkalmazása során kapott paramétereket tartalmazó táblázat:

    16. ábra

    1. Ha és , akkor az utolsó egyenlet alakú, ezért nincs megoldás.

    2. Ha , akkor egyértelmű megoldást kapunk.

    3. Ha és , akkor az utolsó egyenlet alakú, tehát az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

  11. a) Ha és , akkor nincs megoldás.

    b) Ha , akkor egyértelmű megoldást kapunk.

    c) Ha és , akkor végtelen sok megoldás van.

  12. a) Ha és , akkor nincs megoldás.

    b) Ha , akkor egyértelmű megoldást kapunk.

    c) Ha és , akkor végtelen sok megoldás van.