Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 7., Lineáris algebra II.

Szerző Csordásné Marton Melinda (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

7.4 Lineáris leképezések

7.4 Lineáris leképezések

Legyenek és vektorterek. Az függvényt (homogén) lineáris leképezésnek nevezzük, ha művelettartó, azaz

  1. minden esetén ,

  2. minden és esetén .

A lineáris leképezés tehát minden elemhez egyértelműen hozzárendel egy elemet. Ahol ez nem idézhet elő félreértést, az helyett -t fogunk írni.

Vezessük be a következő jelölést: a lineáris leképezések halmazát jelöljük -vel. Ekkor jelöli a lineáris leképezések halmazának egyik elemét.

Ha és , akkor a vektort az vektor ősképének nevezzük. Ha nem injektív leképezés, akkor nem egyértelmű.

A műveleteket azért jelöltük különböző színekkel, mert a pirossal jelölt összeadás és skalárral való szorzás a -beli, a zöld pedig a -beli műveletet jelöl.

A lineáris leképezés összegtartásából és skalárszorzat tartásából könnyen belátható, hogy a nullelemet, az ellentettet és a lineáris kombinációt is megtartja, azaz, ha jelöli a -beli nullelemet, és jelöli a -beli nullelemet, akkor

  1. ,

  2. ,

Az lineáris leképezés képtere a képelemek halmaza, értékkészlete, azaz

Az lineáris leképezés magtere a nullvektorára képező elemek halmaza, azaz

Belátható, hogy altere -nek, és altere -nek.

Speciálisan azokat a lineáris leképezéseket, amikor , a vektortér lineáris transzformációinak nevezzük. Lineáris transzformáció esetén előfordulhat, hogy a képtér nem a teljes , továbbá több vektornak is lehet ugyanaz a képe.

Vezessük be a következő jelölést: a lineáris transzformációinak halmazát jelöljük -vel, ekkor azt jelenti, hogy a lineáris transzformáció.

Példák lineáris transzformációkra

  1. Tekintsük a háromdimenziós teret, és legyen . jelentse az sík tengely körül adott irányú és adott szögű elforgatását. Bármely vektornak az az vektor felel meg, amelybe az illető vektor az adott forgatás révén átmegy. Nem nehéz belátni, hogy az 1) és a 2) feltétel teljesül. Igazoljuk az 1) feltételt. azt jelenti, hogy az vektort összeadjuk, azután pedig a kapott vektort elforgatjuk. Az viszont azt jelenti, hogy -et és -t előbb elforgatjuk, és csak azután összegezzük. Világos, hogy az eredmény mindkét esetben ugyanaz.

  2. Tekintsük azt a lineáris transzformációt, amely minden -beli vektorhoz hozzárendeli az síkra vonatkozó tükörképét.

  3. Legyen és legyen mátrix. Feleltessük meg minden vektornak az vektort, amelyet úgy kapunk, hogy az vektort szorozzuk az mátrixszal, ez a hozzárendelés az egy lineáris transzformációja.

  4. Tekintsük a legfeljebb -ed fokú polinomok dimenziós vektrorterét. Legyen , ahol a polinom deriváltja. Ez a transzformáció lineáris, ugyanis

    1. ,

    2. .

A lineáris transzformációk között különleges szerepet játszik a következő két egyszerű transzformáció:

Az lineáris transzformációt egységtranszformációnak vagy identitásnak nevezzük, ha minden vektornak önmagát felelteti meg, azaz

A lineáris transzformációt zérustranszformációnak nevezzük, ha minden vektornak a zérusvektort felelteti meg.

Ha egy lineáris leképezés kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít és között, akkor izomorfizmusnak nevezzük. Az izomorfizmus már a magtérről és a képtérről felismerhető. Belátható, hogy egy lineáris leképezés pontosan akkor izomorfizmus, ha és .

Két vektorteret izomorfnak nevezünk, ha van közöttük izomorfizmus. Ha vektortér izomorf vektortérrel, azt a -vel jelöljük.

Az izomorf vektorterek algebrai szempontból megkülönböztethetetlenek egymástól. Az izomorfia reflexív, szimmetrikus és tranzitív, azaz

  1. ha akkor ,

  2. ha és , akkor .

Belátható, ha és véges dimenziójú vektorterek, akkor és pontosan akkor izomorf, ha .

7.4.1 A mátrixok és a lineáris leképezések összefüggése

A fejezetben csak véges dimenziójú vektorterekkel foglalkozunk. A lineáris leképezések egyik fontos tulajdonsága, hogy ha bázis a vektortérben, és tetszőleges elemek a vektortérben, akkor pontosan egy olyan lineáris leképezés létezik, amelyre

azaz amely a báziselemeket rendre a elemekbe viszi.

Ennek a tételnek a felhasználásával a lineáris leképezéseket általában úgy adjuk meg, hogy a báziselemek képeit választjuk meg. Belátható, hogy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van a véges dimenziójú vektorterek lineáris leképezése és a mátrixok között. Ez a fontos tétel lehetővé teszi, hogy a lineáris leképezéseket mátrixokkal adjuk meg, ugyanakkor minden mátrix egy lineáris leképezést is reprezentál. Így leképezésekre vonatkozó állításokat mátrixok segítségével igazolhatunk. Gyakorlati alkalmazásokban leképezések helyett szinte mindig mátrixokkal dolgozunk.

Legyen a vektortér egy bázisa , és legyen a vektortér egy bázisa . Egy lineáris leképezés és bázispár szerinti mátrixán azt a -es mátrixot értjük, amelynek -edik oszlopában az vektornak a bázis szerinti koordinátái állnak. Ezt a mátrixot -vel jelöljük.

Részletezve:

Ekkor .

Az mátrix oszlopvektorai az báziselemek képei báziselemek segítségével felírva. A mátrix természetesen függ a bázisok választásától, ugyanis más bázispár esetén a mátrix is változik.

Lineáris transzformációk esetén, ha a bázis az , ún. triviális bázis, akkor az jelölés helyett röviden az jelölést alkalmazzuk.

A hatodik modulban definiáltuk a szám-n-esek, az oszlopmátrix ill. az oszlopvektor fogalmát. Megmutattuk, hogy ezek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van.

A továbbiakban megmutatjuk, hogy ha ismert egy lineáris leképezés mátrixa, akkor egy tetszőleges -beli vektornak hogy adhatjuk meg a -beli képét.

Legyen vektortér egy bázisa az és legyen egy tetszőleges vektor. Tudjuk, hogy a vektor felírható az vektorok lineáris kombinációjaként, tehát alakban. A számokat a vektor bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Látni fogjuk, hogy célszerű a vektor koordinátáit oszlopmátrixban felírni, és mivel a koordináták függnek a bázis választásától, érdemes a jelölésben azt a bázist is szerepeltetni, amelyben a vektor koordinátáit felírtuk:

Legyen a vektortér egy bázisa az és legyen a vektortér egy bázisa , lineáris leképezés, és tetszőleges vektor.

Ekkor

ahol a jobb oldalon két konformábilis mátrix szorzata áll, ugyanis és , tehát a szorzás eredménye: .

Példa

Lineáris leképezés-e az az leképezés, amely minden vektorhoz az vektort rendeli hozzá. Válasszuk -ban az triviális bázist. Ha lineáris leképezés, adjuk meg a leképezés mátrixát, és a vektor képének koordinátáit a triviális bázisban! Mi lesz a leképezés képtere és magtere?

Ellenőrizzük, hogy teljesül-e az feltétel!

Mivel , tehát a leképezés lineáris transzformáció, amely, mint geometriából már ismert, az síkra való merőleges vetítés.

Mivel:

a leképezés mátrixa: .

A vektor merőleges vetítettjének a koordinátái:

.

, tehát az sík.

(tehát a koordinátájú pontok), vagyis a harmadik tengely.

7.4.2 Sajátérték, sajátvektor

Ebben a fejezetben véges dimenziós vektorterek olyan lineáris transzformációival foglalkozunk, amelyekhez létezik olyan nemnulla vektor, melyet a transzformáció a skalárszorosába képez, azaz e vektorok a transzformáció során a saját egyenesükben maradnak. Ezeket a vektorokat sajátvektoroknak, a megfelelő skalárt, azaz a „nagyítás” mértékét sajátértéknek nevezzük.

Egy skalárt az lineáris transzformáció sajátértékének nevezünk, ha létezik olyan nemnulla vektor, amelyre .

Egy nemnulla vektort, az lineáris transzformáció sajátvektorának nevezünk, ha létezik olyan skalár, amelyre .

A sajátérték definíciójában a nullvektort mindenképpen ki kell zárni, mert az minden -ra fennáll, vagyis a kikötés nélkül minden sajátérték lenne.

A sajátvektoroknál tehát a sajátérték egyértelműsége miatt érdemes kihagyni a nullvektort, mert így belátható, hogy minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik.

A sajátértékek köréből nem zártuk ki a skalárt. A nulla pontosan akkor sajátértéke -nak, ha , a sajátvektorok pedig a magtér nemnulla elemei.

Egy adott λ sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor alteret alkotnak. Ezt az alteret a λ-hoz tartozó sajátaltérnek nevezzük. A sajátérték definíciója alapján a sajátaltér nem állhat egyedül a nullvektorból.

A következő tétel a sajátértékek megkereséséhez nyújt segítséget:

Legyen lineáris transzformáció és bázis -ben. Egy skalár akkor és csak akkor sajátértéke -nak, ha az mátrix determinánsa nulla:

Ugyanis akkor és csak akkor sajátérték, ha van olyan vektor, amelyre , azaz . Ezzel ekvivalens az homogén lineáris egyenletrendszer, amelynek akkor van triviálistól különböző megoldása, ha

Az lineáris transzformáció karakterisztikus polinomján a polinomot értjük, amely független a -beli bázis választásától.

Példa: Határozzuk meg az mátrixszal megadott lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat!

A karakterisztikus polinom: , ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai és

A sajátértékekhez tartozó sajátvektorok:

sajátérték esetén:

ahol .

sajátérték esetén:

ahol

7.4.3 Feladatok

  1. Legyen az a lineáris transzformáció, amely a vektoroknak az síkra való vetítéséből áll. Láttuk, hogy triviális bázisban a transzformáció mátrixa: . Határozzuk meg ugyanennek a transzformációnak a mátrixát az bázisra vonatkozólag, ahol

  2. Legyen a vektortér egy bázisa , és legyen a vektortér egy bázisa . Hogyan változik meg egy leképezés mátrixa, ha a megfelelő bázisban

    1. -t és -t felcseréljük,

    2. -t és -t felcseréljük,

    3. helyett -t veszünk, ahol ,

    4. helyett -t veszünk, ahol ,

    5. helyett -t veszünk,

    6. helyett -t veszünk?

  3. Határozzuk meg az alábbi mátrixokkal megadott lineáris transzformációk sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat!

Megoldások:

  1. A transzformáció mátrixa új bázisban: .

  2. a) Az első két oszlop felcserélődik.

    b) Az első két sor felcserélődik.

    c) A harmadik oszlop -val szorzódik.

    d) A harmadik sor -val osztjuk.

    e) A harmadik oszlophoz hozzáadódik a második oszlop -szöröse.

    f) A harmadik sorból levonjuk a második sor -szörösét.

  3. a)

    .

    .

    A karakterisztikus polinom: , ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai és

    A sajátértékekhez tartozó sajátvektorok:

    sajátérték esetén:

    ahol .

    sajátérték esetén:

    ahol .

    b) Nincsenek valós sajátértékek.

    c)

    .

    .

    A sajátvektorok:

    ahol .

    d).

    A -hoz tartozó sajátvektor: ahol .

    A -hez tartozó sajátvektor: ahol .

    A -höz tartozó sajátvektor: ahol .

    e).

    A -hez tartozó sajátvektor: ahol .

    A -hez tartozó sajátvektor: ahol .

    A -höz tartozó sajátvektor: ahol .

    f) A sajátérték:

    A -hez tartozó sajátvektor: ahol