Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 7., Lineáris algebra II.

Szerző Csordásné Marton Melinda (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

7.6 Túlhatározott egyenletrendszerek

7.6 Túlhatározott egyenletrendszerek

Túlhatározott egyenletrendszereknek nevezzük azokat az egyenletrendszereket, amikor a több az egyenlet, mint az ismeretlen.

A mérnöki gyakorlatban, így például a geodéziai mérések során is, a nagyobb megbízhatóság érdekében a minimálisan szükséges méréseknél több mérést végeznek. A mérési eredményeknek bizonyos matematikai feltételeknek kell eleget tenniük. Ilyen feltételek lehetnek, hogy a mérés során meghatározott pontok egy egyenesre, egy síkra, vagy egy más bonyolultabb alakzatra, felületre illeszkedjenek. Az egyes mérések során a hibák elkerülhetetlenek, ezért a kapott egyenletek egymásnak ellentmondóak. Természetesen nem tudjuk, hogy melyik mérésünk hibás, mert akkor az annak megfelelő egyenletet egyszerűen elhagyhatnánk. Mivel önkényesen nem hagyhatunk el egyenleteket, olyan megoldást keresünk, amely a hibát valamilyen matematikai szempontrendszer szerint minimalizálja. Az egyenletrendszernek egy közelítő megoldását adjuk meg tehát.

Legyen a lineáris egyenletrendszer mátrixalakban , ahol a vektor jelenti a geodéziai mérések eredményeit vagy a mérési eredményekből számított mennyiségeket, például helykoordinátákat. Az ismeretlenek a keresett geodéziai alakzat jellemző paraméterei. A megoldás alapgondolata, hogy az egyenletrendszert úgy oldjuk meg, hogy minden mért mennyiséghez adjunk hozzá egy javítást, amely az ellentmondást kiküszöböli. Így , ahol az eltérésvektor vagy ún. maradéktag. Ha a javított egyenletrendszer , akkor az eltérésvektor alakban írható. Gyakori, hogy az egyenletrendszer olyan megoldását keressük, ahol az eltérésvektor koordinátáinak négyzetösszege minimális. Ezt a módszert a legkisebb négyzetek módszerének nevezik.

A feltételnek megfelelő megoldást szolgáltató lineáris egyenletrendszer a Gauss normálegyenlet:

Példa: Határozzuk meg az alábbi túlhatározott egyenletrendszer legjobban közelítő megoldásait:

Legyen

A fenti jelölések felhasználásával a Gauss normálegyenlet

49. ábra
50. ábra

Gauss normálegyenlet:

A normálegyenlet megoldása a túlhatározott egyenletrendszer közelítő megoldását adja: és .

. Az eltérésvektor: .

7.6.1 Túlhatározott egyenletrendszer megoldása súlymátrix alkalmazásával

Oldjuk meg az alábbi túlhatározott egyenletrendszert a megadott súlymátrix alkalmazásával.

Súlymátrix:

A túlhatározott egyenletrendszer egyes egyenleteit felhasználhatjuk különböző súllyal is az ún. súlymátrix segítségével. A súlymátrix mindig diagonalmátrix, és az a szerepe, hogy a mérések pontosságát súlyozza. A súlyok a főátlóban szereplő számok. Jelen példában az első, a második és a harmadik mérést reprezentáló egyenletet hatos súllyal vesszük figyelembe, a következő két egyenletet hármas súllyal, míg az utolsó egyenlet pontosságát kettes súllyal szerepeltetjük.

A súlymátrixos Gauss normálegyenlet:

Amegoldás

7.6.2 Feladatok

  1. Határozza meg az alábbi túlhatározott egyenletrendszer legjobban közelítő megoldását, és írja fel az eltérésvektort!

  2. Adja meg az alábbi túlhatározott egyenletrendszerekhez tartozó normálegyenletet!

    1. Írja fel az 2/b feladatban megadott túlhatározott egyenletrendszerhez tartozó normálegyenletet a súlymátrix felhasználásával.

  3. Az alább megadott négy pont nem illeszkedik egy körre. Írja fel a pontokhoz legjobban közelítő kör egyenletét!

  4. Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, amely a megadott négy pontot úgy közelíti meg, hogy a hibák négyzetösszege a lehető legkisebb legyen!

Megoldások:

  1. 51. ábra

    52. ábra

    Gauss normálegyenlet:

    A normálegyenlet megoldása:

  2. A normálegyenletek:

    a)

  3. A megadott négy pont nem illeszkedik egy körre. Írja fel a pontokhoz legjobban közelítő kör egyenletét!

    Induljunk ki az általános kör egyenletéből: ; ahol a kör középpontjának a koordinátái, és a kör sugara. A kör egyenlete felírható alakban is, ahol

    Helyettesítsük be a kör egyenletébe a megadott pontok koordinátáit, így egy lineáris túlhatározott egyenletrendszerhez jutunk:

    Gauss normálegyenlet:

    A kör egyenlete:

  4. Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, amely a megadott négy pontot a úgy közelíti meg, hogy a hibák négyzetösszege a lehető legkisebb legyen!

    A parabola egyenlete: . Helyettesítsük a megadott pontok koordinátáit az egyenletbe:

    A Gauss normálegyenlet:

    Javaslat: Az egyenletrendszert oldjuk meg inverz mátrix felhasználásával Excel program alkalmazásával.