Ugrás a tartalomhoz

Matematika példatár 7., Lineáris algebra II.

Szerző Csordásné Marton Melinda (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

7.7 A lineáris regresszió

7.7 A lineáris regresszió

A túlhatározott egyenletrendszerek egy speciális esetének tekinthető a lineáris regresszió. Adott n darab pont, koordinátáik: ). Ezek a pontok nem illeszkednek ez egyenesre. Az a feladat. hogyan határozzuk meg a legkisebb négyzetek módszerének a felhasználásával a pontokat legjobban megközelítő egyenes, az ún. regressziós egyenes egyenletét. Az egyenes egyenlete , ahol az valós paraméterek.

Példa:

Az alábbi táblázat egy szállítmányozási cég adatait tartalmazza. Vizsgálták az egyes szállítmányok távolságának és a szállítás időtartamának a kapcsolatát. Határozzuk meg, milyen összefüggés állapítható meg a szállítás távolsága és időtartama között, ha lineáris kapcsolatot tételezünk fel.

A keresett függvény: , ahol jelöli a szállítás távolságát, és jelöli a szállítás időtartamát. Az ismeretlenek , a keresett regressziós egyenes paraméterei.

Az egyenes egyenlete: , ahová a táblázat adatait helyettesítve az alábbi túlhatározott egyenletrendszert kapjuk:

53. ábra

.

A normálegyenletek:

Adatokkal:

Megoldásuk:

A regressziós egyenes egyenlete: .

A paraméterek értelmezése: A paraméter jelentése az értékhez tartozó érték. Ez a feladatokban nem minden esetben értelmezhető, a fenti példában sem.

Az paraméter az egyenes meredekségét jelenti, amely megmutatja, hogy az egy egységgel nagyobb értékéhez átlagosan mennyivel nagyobb értéke tartozik.

Az adott példában paraméter jelentése az, hogy 1km-rel hosszabb út átlagosan másfél perccel növeli a szállítási időt.

Adjunk becslést, hogy egy 25km-re történő szállítás várhatóan mennyi idő alatt történik:

=42 perc a becsült idő.

7.7.1 Feladatok

1. Az alábbi táblázat egy termálkút mélységének és a termálvíz hőmérsékletének a kapcsolatát mutatja.

1. táblázat -

Mélység (m)

900

1000

1100

1100

1000

900

900

1000

1100

Hőmérséklet

57

59

67

62

60

52

57

59

67


Adja meg azt a regressziós egyenest, amely a hőmérsékletet a mélység függvényében jól közelíti! Értelmezze a paramétereket, és becsülje meg, hogy egy 1200 m mély kút vizének mekkora a hőmérséklete!

2. Egy tízelemű minta alapján vizsgálták a lakások alapterülete (m2) és havi vízfelhasználása (m3) közötti összefüggést. A minta adatai:

2. táblázat -

Alapterület

38

38

51

51

55

55

55

73

79

105

Vízfogyasztás

10

5

15

20

20

15

25

35

25

30


Határozza meg a lineáris regresszió függvényt, és értelmezze a paramétereket!

Becsülje meg egy 80 m2-es lakás vízfogyasztását!

3. Az alábbi táblázat mutatja egy biztosító 10 üzletkötőjének az adott cégnél töltött ideje és az egy év alatt megkötött biztosítások száma közötti kapcsolatra vonatkozó adatai, ahol a biztosítónál eltöltött évek számát pedig a kötött biztosítások számát jelöli.

3. táblázat -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

90

100

120

150

160

180

200

190

180

200


Határozza meg a lineáris regresszió függvényt, és értelmezze a paramétereket!

4. 10 elemű minta alapján vizsgálták a Suzuki Sedan 1,3 GL típusú gépkocsik életkora (év) és az eladási ár (ezer forint) közötti kapcsolatot. (2004. év adatai)

4. táblázat -

Életkor

3

1

6

4

4

5

0

1

7

2

Ár

1720

1800

1350

1600

1500

1550

2000

1750

1300

1700


Határozza meg a lineáris regresszió függvényt, és értelmezze a paramétereket!

Becsülje meg egy 8 éves gépkocsi vételárát!

5. Véletlenszerűen kiválasztott városokban vizsgálták a népesség száma és a közcsatorna-hálózatba bekapcsolt lakások aránya közötti összefüggést. jelöli a népességszámot ezer főben, jelöli a bekapcsolt lakások arányát százalékban.

5. táblázat -

23

55

43

28

65

15

50

32

58

35

78

60

40

70

30

42

70

50

43

75

30

65

42

60

60

80

72

53

82

48


Határozza meg a lineáris regresszió függvényt, és értelmezze a paramétereket!

Megoldások

6. táblázat -

Mélység (m)

Hőmérséklet

900

1000

1100

1100

1000

900

900

1000

1100

57

59

67

62

60

52

57

59

67

810000

1000000

1210000

1210000

1000000

810000

810000

1000000

1210000

51300

59000

73700

68200

60000

46800

51300

59000

73700

9000

540

9060000

543000


A táblázat adatainak felhasználásával felírható normálegyenlet:

Javaslat a normálegyenlet megoldásához: a második egyenletet szorozzuk meg ezerrel, majd a két egyenletet vonjuk ki:

A kapott értéket az eredeti egyenletrendszer második egyenletébe helyettesítve adódik.

A keresett regressziós egyenes:

A paraméterek értelmezése: nem értelmezhető.

Az paraméter jelentése, ha a kút mélysége 1 méterrel nő, akkor a vizének a hőmérséklete 0.05-kal emelkedik.

Becslés az 1200 méter mély kút hőmérsékletére: .

  1. .

  2. .

  3. .