Matematikai geodéziai számítások 11., 11 Geoidkép meghatározása csillagászati szintezéssel
Dr. Bácsatyai László (2010)
Nyugat-magyarországi Egyetem
A csillagászati szintezés: geoidundulációk meghatározása geometriai eszközökkel.
A geoidunduláció (a valódi és a normál nehézségi erőtér azonos potenciálértékű (W(P’)=U(P0)=W0) szintfelületeinek távolsága) az
Bruns-féle képlettel fejezhető ki.
- a potenciálzavar értéke a földfelszíni P pont P’ geoidi megfelelőjében,
- a normál nehézségi erő értéke a P0 pontban, az ellipszoid felületén.
A képlet fizikai értelme: a potenciálzavar – a potenciálhoz hasonlóan – munkajellegű mennyiség, a munka = erő * út, így munka /(nehézségi) erő = út (távolság).
A továbbiakban a geoid meghatározásának geometriai módszerét vázoljuk, mely eljárásban mind a geoidot, mind a vonatkozási ellipszoidot geometriai felületként kezeljük.
Mivel a potenciálzavart nem ismerjük, a geoidunduláció fenti képletét át kell alakítani. Az egyszerűsítés miatt a továbbiakban a P indexet elhagyjuk. A Bruns-féle képletnek a geoid felületén lévő P’ pontból kiinduló tetszőleges α azimutú s íve mentén vett 
első deriváltja megadja a geoidunduláció változását az s ív mentén. E derivált értéke a függővonal-elhajlás s irányú összetevője:
.
Α − meridián- és − haránt-irányú összetevőkre:
és 
.
A fenti összefüggések integrálásával általános esetben
[*],
a meridián- és a haránt-irányú összetevők esetén:
és 
.
A geoidmeghatározáshoz elvileg olyan sűrűségben kellenének a − és − értékek, hogy a szomszédos pontok közötti változásuk már lineárisnak legyen tekinthető. Ez azt jelenti, hogy a terepviszonyoktól függően néhány km-enként (2-25 km) kellene ismerni a − és − értékeket. Ha ilyen sűrűségben ismerjük a függővonal-elhajlások értékeit a geoid valamilyen azimutú metszete (szelvénye) mentén, úgy az integrálokat a Σ jellel, azaz algebrai összegzéssel helyettesíthetjük (numerikus integrálás). Valamilyen adott N0 geoidundulációjú pontból kiindulva, az i-ik geoidundulációt a kezdő ponthoz képest az
.
összefüggésből számíthatjuk.
A végrehajtás lényegét az alábbi ábrán követhetjük nyomon.
Az ismert függővonal-elhajlású pontok olyan közel helyezkednek el egymáshoz, hogy a geoid, ill. az ellipszoid közöttük lévő ívei egyeneseknek, az N’i (az ábrán csak az N’1 és N’2 láthatók) szemközti befogójú, a befogóval szemben lévő 
igen kis hegyesszögű háromszögek derékszögűeknek tekinthetők. A kis szögek miatt
, 
, ......., 
.
Mivel a függővonal-elhajlás gyorsan változik, célszerű a 
mennyiségek helyett a fenti képletekbe a
középértékeket helyettesíteni.
A kezdő pont ismert N0 értékét az 
értékekhez még hozzá kell adnunk:
.
Az N0 értékét általában önkényesen választják meg, pl. egy hálózati kezdőpontban 0-nak. Ezért egy geoidunduláció-térkép mindig relatív, s természetesen függ a vonatkoztatási ellipszoidunktól. Mivel a függővonal elhajlások meghatározása gyakorlatilag csak a szárazföldeken végezhető el, ezért a csillagászati szintezés módszerével a geoidnak csak helyi felületdarabjai határozhatók meg.
A csillagászati szintezés fontos követelménye, hogy a tervezett szelvények mentén a képletek alkalmazhatóságához elegendő számú pontban ismerjük a függővonal-elhajlásokat. Mivel a mind a szintfelületi, mind az ellipszoidi koordinátákkal rendelkező csillagászati pontok (az ún. Laplace-pontok) egymástól való távolsága nagy, azokat megfelelő módszerrel sűríteni kell[1].
A szelvényeket rendszerint észak-dél (meridián-), vagy kelet-nyugat (haránt-) irányban jelölik ki. A meridián és a haránt irányú függővonal-elhajlások a földrajzi koordináták függvényében (nagy görög betűk: szintfelületi koordináták, kis görög betűk: ellipszoidi koordináták)
.
Az s ívhosszakat ilyenkor – mint az ábrán látható - a szelvény menti szomszédos pontok szélesség-, ill. hosszúságkülönbségeinek és a földgömb sugarának, vagy a szélességi kör sugarának szorzataiként célszerű kifejezni.
A számítások munkaképletei:
A képletekben:
Δλ=λi+1-λi, Δϕ=λi+1-ϕi
A −i és −i, a −i+1 és −i+1 értékei ”-ben, a Δϕ és Δλ értékei ’-ben értendők. E helyettesítésekkel az N értékeit cm dimenzióban kapjuk.
; 
.
Az eddigi gyakorlat szerint csillagászati szintezéssel nagyobb területre geoidképet úgy határoznak meg, hogy először megfelelő sűrűségű hosszúsági és szélességi vonalak metszéspontjaiban (gyakorlatilag négyzethálózat sarokpontjaiban) meghatározzák a ξ és az η függővonal-elhajlás összetevők értékét. Ezt követően a szélességi vonalak mentén az η összetevők-, a hosszúsági vonalak mentén pedig a ξ összetevők felhasználásával számítják a geoid metszeteket.
A hagyományos szintezési poligonokhoz hasonlóan, egy zárt négyzetben az egyik sarokpontból kiindulva, majd ugyanoda visszatérve, ugyanazt a geoidunduláció-értéket kellene kapnunk:
.
Miután ez nem teljesül, a rács egészére a feltételes mérések módszere szerinti kiegyenlítést célszerű alkalmazni. A kiegyenlített geoidunduláció-értékek között az interpolálással kapott azonos, kerek értékű geoidundulációkból - a szintvonal-szerkesztéshez hasonlóan – grafikusan, vagy számítógépes szoftverrel izovonalas geoidunduláció-térképeket készítenek.
[*] Itt a Pizetti-féle függővonal-elhajlás. A zárójelbe tett indexek ugyanazon geoid-unduláció számítási módjára utalnak.
[1] Régebben a csillagászati-geodéziai mérések igen időigényesek voltak, ezért csak viszonylag kevés számú függővonal elhajlás adat állt rendelkezésre a geoidundulációk számításához (Magyarországon pl. mindössze 138 ilyen ún. asztrogeodéziai pont van). Azonban az új mérési technológiákat (CCD érzékelők, modern képfeldolgozó algoritmusok) alkalmazó számítógép vezérelt műszerek (pl. zenitkamerák) segítségével a mérés és az adatfeldolgozás jelentősen gyorsítható, ill. a pontosság növelhető, ami a geometriai geoidmeghatározás újjáéledését jelentheti a közeljövőben (Gerstbach, 1996a,b, Hirt and Flury, 2008, Hirt et al, 2010).