Ugrás a tartalomhoz

Matematikai geodéziai számítások 8., Szintezési hálózat kiegyenlítése

Dr. Bácsatyai László (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

8.2 Közvetett mérések kiegyenlítése (koordináta-kiegyenlítés): lineáris eset

8.2 Közvetett mérések kiegyenlítése (koordináta-kiegyenlítés): lineáris eset

m számú ismeretlen meghatározására n számú mérést végzünk. A kiegyenlítésnek csak az m > n feltétel teljesülése esetén van értelme, m=n esetén nincs fölös mérés, m<n esetén a feladatot nem lehet megoldani. A fölös mérések száma f = n - m .

Közvetett mérési eredmények valódi értékei:

Z1, Z2, .... , Zn - a keresett ismeretlenek valódi értékei

Közvetítő egyenletek:

u1, u2, .... , un – a mérési eredmények

z1, z2, .... , zn - a keresett ismeretlenek mérési eredményekhez tartozó (nem ismert) értékei

A mérési eredmények kiegyenlített értékei:

- mérési eredmények kiegyenlített értékei

- a keresett ismeretlenek kiegyenlített értékei

A fentiekben tehát Ui a mérések, Zi a keresett ismeretlenek valódi értékei, ui a mérési eredmények, zi a keresett ismeretlenek mérési eredményekhez tartozó értékei, a mérési eredmények, a keresett ismeretlenek kiegyenlített értékei.

A mérési eredmények kiegyenlített értékei a mérési javítások és közelítő értékek bevezetésével:

.........................

- a keresett ismeretlenek közelítő értékei,

vi - mérési javítások (i = 1, 2, ... , n) ,

zja koordináta-kiegészítő értékek (j = 1, 2, ... , m).

Javítási egyenletrendszer:

,

(i = 1, 2,..., n)

Javítási egyenletrendszer mátrixos formában:

Jelölések:

; ;

; ; ;

A T felső index transzponált mátrixot jelöl.

A normál egyenletrendszer mátrixos formában (vTPv = min. feltétel alapján):

Az eddigi jelöléseken túl a súlymátrix:

A súlymátrix a gyakorlatban – a mérésekre vonatkozó függőségi kapcsolatok ismeretének hiányában – diagonális, ami azt jelenti, hogy a méréseket függetleneknek tekintjük. Q – a súlymátrix inverze, a súlykoefficiens mátrix.

μ0 – a súlyegység középhibája

μi – a mérési eredmények előzetes középhibái

A normál egyenletrendszer megoldása:

A keresett ismeretlenek:

; .

A súlyegység középhibája:

P – súlymátrix

– mérési javítások vektora

f – fölös mérések száma

Keresett ismeretlenek utólagos középhibái:

j = 1, 2, ... , m, a mátrix j-ik főátlóbeli eleme.