Ugrás a tartalomhoz

Matematikai statisztikai elemzések 3., Becsléselmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becslés

Prof. Dr. Závoti József (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

3.3 Becslési módszerek

3.3 Becslési módszerek

Alapvető probléma, hogy egy adott valószínűségi eloszláshoz, hogyan található jó becslés. Létezik-e olyan általános matematikai elv, amely megadja, hogy milyen statisztikát számítsunk ahhoz, hogy a keresett paraméterek jó becslését kapjuk?

3.3.1 Maximum likelihood módszer, azaz a legnagyobb valószínűség elve

Legyen valószínűségi vektor változó mintaelemeinek együttes sűrűségfüggvénye:

- ahol , és a becslési tartomány.

A fenti összefüggés alapján a likelihood függvényre az alábbi kifejezést kapjuk:

A likelihood becslés a parciális deriváltak nullával való egyenlőségének szükségességéből adódik:

,

Elméleti és gyakorlati szempontból két fontos esetet tárgyalunk:

3.3.2 Normális eloszlás esetén

Az együttes sűrűségfüggvény:

,

- ahol σ a szórás, a várható érték.

A likelihood függvény:

A szélsőérték létezésének szükséges feltétele alapján:

,

,

A fentiekből az ismeretlen paraméterek becslésére az alábbi összefüggések adódnak:

,

Tehát a hagyományos becslési eljárás normális eloszlás esetén a várható értéket a számtani középpel, a szórásnégyzetet a tapasztalati (empirikus) szórásnégyzettel becsüli.

3.3.3 Laplace eloszlás esetén

A kétoldalú exponenciális eloszlás, azaz a Laplace–eloszlás sűrűségfüggvénye:

Az együttes sűrűségfüggvény:

A Likelihood–függvény a következő:

A szélsőérték létezésének szükséges feltétele alapján:

, ,

– ahol n+ és n- a pozitív és negatív deriváltak száma.

A fenti egyenletekből az ismeretlen paraméterek becslésére az alábbi összefüggéseket kapjuk:

,

Tehát Laplace–eloszlás esetén a várható érték becslésére a medián, a szórás becslésére a legkisebb abszolút eltérés (LAD) adódik.