Ugrás a tartalomhoz

Nagyméretarányú térképezés 13., Területosztások tervezési számításai

Dr. Vincze László (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

13.3 Körívekkel kapcsolatos síkbeli számítások (Köríves tervezések)

13.3 Körívekkel kapcsolatos síkbeli számítások (Köríves tervezések)

A körívekkel kapcsolatos számítások elsősorban a kitűzést megelőzően képezik a földmérők feladatát, de íven fekvő határvonalú földrészletek kiosztásának tervezésénél is hasznosak az ismeretek. Az építésztervezők ugyanis előszeretettel alakítanak ki olyan alakzatokat, amelyek íves határvonal mentén csatlakoznak. Ezzel szemben a földrészlethatárokat csak egyenes vonallal szabad létrehozni. Tehát pl. a területosztások tervezését a körívekre vonatkozó ismeretek alapján kell elvégezni, de azután az íves szakaszokat olyan egyenesekkel kell kiváltani, amelyek végpontjai a köríven vannak, ugyanakkor teljesülnek a területtervezés egyéb elvárásai (pl. adott nagyságot elérő területek „gazdaságos” kialakítása). A köríves tervezésekhez szükséges ismerni néhány geometriai feltételt, amelyek segítségével a feladatok megoldhatók.

A körívek megadásának módjai a következők lehetnek:

a.) Adott középpontú kör esetén 1 további feltététel szükséges:

- sugár (r), vagy

- egy feltétel;

b.) Ismeretlen központú kör esetén 3 feltétel szükséges:

- sugár (r) és további

- két feltétel.

c.) Körök csatlakozásánál - a közös érintőn kívül - körönként 2-2 további (azaz pl. két körnél 5 független) feltétel szükséges az összefüggések egyértelmű meg- határozásához. Képletben:

f = 2 * n + 1 illetve: n = (f-1)/2

ahol: f = feltételek száma, n = körök száma.

A körívekkel kapcsolatos földmérési feladatok: a fő- és részletpontok koordinátáinak kiszámítása majd kitűzése, illetve az ehhez szükséges méretek kiszámítása.

A különféle számítások egyszerűbb áttekintéséhez az alábbi egységes jelölést alkalmaztuk:

O (O1 O2) = középpont helye (és koordinátái)

r (r1 r2) = kör(-ív) sugara(-i)

e (e1 e2 e3 ) = egyenes(-ek)

A, B = egyenesek adott pontjai

P (P1 P2) = körkerület egy pontja

S(i) = segédpont (-ok)

M(i) = metszéspont(-ok)

δA δB δM = egyenesek, ill. szögfelező, stb. irányszögei, illetve

δAB, δ2-3, stb, vagy δe1 , δe2

t = (itt:) az érintőn mért távolság

a, b = egyéb (egyenesen értelmezett) távolságok.

A számítások végrehajtását a következőkben részletezzük.

13.3.1 Középpontjával adott kör egyéb adatainak számítása

A középpontjával (Oy,x) adott kör számításainak 3 esete ismeretes:

a.) egyéb feltételként: r ismert, tehát a kör meghatározott.

b.) P ismert (r = OP kiszámítása után mint a.) eset.

c.) e egyenes adott (pl. Ayx és δA) (lásd 13.1 ábra).

Az első két esetben a feladat (a kör) egyszerűen meghatározott.

A c.) eset megoldása:

13.1. ábra: Középpontjával adott és egyenest érintő kör

1.) E-t előmetszéssel számíthatjuk: A-ból δAés O-ból δOEA -90o alapján

2.) r = OE számításával megoldott a feladat

13.3.2 Két kerületi pont és ismert sugár esetének megoldása

A megoldást a szakaszfelező merőleges adja, amely átmegy a kör középpontján.

Adott:P1 P2 és r. Számítandó: O(y,x).

13.2. ábra: Két kerületi pont és adott sugár esete

A megoldás lépései:

1. a =P1P2 , (ezen kívül: S-t felezőpontként számíthatjuk)

2. , amiből

3. O-t előmetszéssel P1-ből δP1OP1P2+ α és P2-ből δP2OP2P1- α -val.

4. majd a sugár számítása: r = OP1

5. Ellenőrzés: r = OP2 = r; és m = r*sin α, illetve m = SO.

13.3.3 Kör számítása három kerületi pont alapján

Adott: P1 P2 P3 Számítandó: O(yx) és r.

Az oldalfelező merőlegesek közös metszéspontja adja a megoldást.

13.3. ábra: Három kerületi pont adott

A megoldás lépései:

1. S1S2 felezőpont koordinátái

2. O-t előmetszéssel S1-ből δP1P2+ 90o és

S2-ből δP2P3+ 90o -al

3. r = OP1

4. Ellenőrzés: OP2 = OP3 = r

13.3.4 Kör és egyenes metszéspontjának számítása

Adott: e egyenes (A és δA-val) Számítandó:M1 és M2 metszéspont

O (Y,X) 2-2 koordinátája.

r.

13.4. ábra: Kör és egyenes metszéspontja

a.) Számítása általános esetben

  1. S –t előmetszéssel A és O pontokból, δA és δOSA-90o irányszöggel

  2. a = OS

  1. M1 és M2 -t polárisan

    1. O-ból r távolságra a δOM1OS-α illetve a δOM2OS+α irányokkal,

    2. vagy előmetszéssel O és S –ből (ha nem túl kicsi az M i -nél levő metszőszög).

5. Ellenőrzés: az egyenesen levő 4 pont területe ≈ 0 kell legyen.

Amennyiben előmetszést alkalmaztunk, további ellenőrzés: OM1=OM2=r.

b.) Speciális eset az, ha az egyenes átmegy a kör középpontján.

Ekkor S=O és a metszéspontokat az e egyenesen polárisan számíthatjuk:

O-tól: r távolságban, δOM1A ±180°, illetve a δOM2A irányokban.

13.3.5 Egyenest érintő kör számításának esetei

Adott: e egyenes és 2 további feltétel. Ennek 4 esete lehetséges:

a.) r, E esetén számítandó: O

b.) r, P O, E

c.) E, P O, r

d.) P1,P2 O, r, E.

13.3.5.1 Adott az egyenes, a kör sugara és az érintési pont

a.) Adott: e, r, E Kell: O középpont, koordinátáival.

13.5. ábra: Adott az egyenes, a kör sugara és az érintési pont

Polárisan számítható: E-ből δEOA+90o és r felhasználásával (13.5 ábra).

13.3.5.2 Adott az egyenes, a kör sugara és egy kerületi pont

b.) Adott: e,r,P Kell: O, E pontok számítása.

Számítás:

1. Előmetszéssel S-t (A és P-ből)

2. a, b,és t hosszak számítása b=SP, a=r–b, t=

3. E-t polárisan (vonalpontként) S-ből t távolságra: δSE=δ±180o irányszöggel.

4. O-t polárisan E-ből r távolságra (δEOA+90o).

5. Ellenőrzés: OP=r.

13.3.5.3 Adott egy egyenes érintési pontjával és egy kerületi pontja

c./1) Adott: e, P, E . Számítandó: O, r.

13.6. ábra: Egyenes és az érintési pont és egy kerületi pont adott

Megoldás lépései:

1. S pont koordinátáinak számítása számtani középként

2. δEP irányszög számítása, majd

3. O pontot előmetszéssel: E pontból: δEOA+90o és S pontból: δSOEP+90o iránnyal

4. r = OP 4.

5. Ellenőrzés: EO = r.

c/2.) Amennyiben az O-nál levő szög túl kicsi lenne, az első két lépés után:

3. az E-nél levő szög számítása, ami egyenlő a P-nél levővel:

4. O-t előmetszéssel E-ből és P-ből szögekkel

5. r=EO

5. Ellenőrzés: OP=r.

13.3.5.4 Adott az egyenes és két kerületi pont

d.) Adott: e, P1 P2 Kell: O, r, E

13.7. ábra: Az egyenesen kívül 2 kerületi pont ismert

Segédtétel: az érintőn mért hossz (t) mértani közepe a szelő teljes hossza (a) és a szelő körön kívüli szakaszának (b), azaz t = . Ez a szelőtétel.

d/1 Számítás általános esetben:

1. S1segédpont előmetszéssel (δAés δP2P1 irányszögekkel)

2. a = S1P2, b = P1S1, majd: t = számítása

3. E -t polárisan (S1 -ből t-vel)

4. S2 -t felezőpontként (P1P2 alapján)

5. O -t előmetszéssel (E és S2-ből)

6. r = OP távolságként

7. Ellenőrzés: OE =OP2= r.

d/2Speciális esetben a P1P2 pontok közötti szakasz párhuzamos az egyenessel.

13.8. ábra: A P1P2 iránya párhuzamos az adott egyenessel

Ekkor a két egyenes a végtelenben metszi egymást, ezért az előzőek szerinti S1 segédpont nem számítható (13.8 ábra). Viszont a számítás mégis egyszerűbben elvégezhető, mert a P1-P2 szakasz felezőpontjára (S1) emelt merőleges kimetszi az adott egyenesből az E pontot. Ezután már az előzőek szerint (13.3 ábra) folytatható a számítás.

13.3.6 Kör(öke)t érintő egyenes(-ek) számítása

13.3.6.1 Egy kör külső érintője

Adott: O, A, r Számítandó: E érintési pont

13.9. ábra: Egy kör külső érintőjének meghatározása

a.) Számítás általános esetben:

1. Az a távolság számítása (OA-ból)

2. α szög számítása ( )

3. E-t polárisan (O-ból r távra, δOEOA- α iránnyal)

4. Ellenőrzés: EA = t = .

b.) Speciális eset:

Ha az egyenes nem az A külső ponttal, hanem a δA irányszöggel lenne adott, az E érintési pont koordinátái az O pontból (δOEA±90o irányszöggel) r távolságra poláris pontként lennének számíthatók.

13.3.6.2 Kör és érintő számítása

13.3.6.2.1 Két kör külső érintőjének számítása

Adott: O1 O2 r1 r2 Számítandó: E1 E2.

13.10. ábra: Két kör külső érintőjének számítása

A megoldás lépései:

1. Az a = O1O2 távolság számítása

2. α számítása összefüggésből

3. E2 számítása polárisan O2-ből r2 és δO2E2 O1E1O2O1+ α alapján.

4. E1-t ugyanezzel az iránnyal polárisan r1 távolságra O1-ből.

5. Ellenőrzés: E1E2 = t, vagyis: és

δE1E2O1E1+90o.

13.3.6.2.2 Belső érintő számítása két körhöz

Adott: O1O2 r1 r2 Számítandó: E1 E2 pontok koordinátája

13.11 ábra: Belső érintő számítása

a.) Megoldás lépései:

1. a = O1 O2 távolság kiszámítása

2. α számítása: -ból

3. E2-t polárisan O2-ből, δO2E2= δO2O1+

4. E1-t polárisan O1-ből, δO1E1O2E2±180o

5. Ellenőrzés: δE1E2= δO2E2+90o és

E1E2 = t, illetve

b.) Megoldás:

  1. után

  2. majd

  3. E1 és E2-t polárisan számíthatjuk O1 és O2-ből.

13.3.7 Két egyenest érintő kör számítása

3 esete ismeretes:

Adott: a.) e1 e2 r Számítandó: O, E, V

b.) e1,e2,E O, r, V

c.) e1,e2, P O, r, E, V.

13.3.7.1 Két egyenest érintő kör főpontjainak számítása, ha a sugár adott a körből

Adott: e1 e2 r Számítandó: O E V.

13.12. ábra: Két egyenest érintő kör számítása, ha a sugár adott

A megoldás lépései:

1. S1 számítása A-ból polárisan δA+90o és r adatokkal

2. S2 számítása B-ből polárisan δB -90o és r adatokkal.

3. O-t előmetszéssel S1 és S2 -ből δAés δB-vel

4. E-t előmetszéssel O és A-ból

5. V-t előmetszéssel O és B-ből

6. Ellenőrzés: OE = OV = r.

Meghatározható úgy is, ha számítjuk az egyenesek (elő-)metszéseként M-t, majd az O, -nál levő középponti szöget (α-t) ezután a összefüggéssel ami az ME és MV távolságokkal egyezik. Ezután M-ből polárisan t távolságra számíthatók az E és V pontok, melyekből ugyancsak polárisan r távolságra az O pont. Ellenőrzésül mindkét érintési pontból ugyanazt a koordinátapárt kell kapni O-ra.

13.3.7.2 Két egyenest érintő kör számítása, ha az egyik érintési pont kötött (E adott )

Adott: e1 e2 E Számítandó: O V r.

13.13. ábra: Két egyenest érintő kör számítása egyik érintési pont ismeretében

A megoldás lépései:

1. M-t előmetszéssel A és B-ből

2. δMszögfelező irányszöge számítandó:

3. O-t előmetszéssel E és M pontból

4. V-t előmetszeni B és O pontból

5. r = OE

6. Ellenőrzés: OV = r.

13.3.7.3 Két egyenest érintő és egy köríven fekvő, adott külső ponton (P) is átmenő kör számítása

Adott: e1 e2 P. Számítandó: O, r, E, V.

Megoldása a korábbi, ún. „szelő-tétel” felhasználásával (lásd a 13.7 ábránál):

13.14. ábra: egyeneseket érintő, külső ponton átmenő kör számítása

1. M előmetszése A és B-ből δA±180o, illetve δB±180o iránnyal

2. δM szögfelező irányszöge számítása:

3. S1 előmetszése A és P-ből δA és δPS1 M- 90o iránnyal

4. S2 előmetszése P és M-ből δB és δPS2= δM+90o iránnyal

5. a, b, t számítása b = PS1 a = 2*PS2+b majd: t =

6. E-t polárisan S1 –ből, t-vel

7. O-t előmetszéssel E és M-ből

8. V-t előmetszéssel O és B-ből

9. r = OP

10. Ellenőrzés: OE =OV = r.

13.3.8 Három egyenest érintő kör számítása

A feladat azonos a háromszögbe írható kör számításával.

Adott: e1 e2 e3. Számítandó: O, E1,E2, E3 r.

13.15. ábra: Három egyenest érintő kör adatainak számítása

Megoldás:

1. δM1 δM2 δM3 szögfelezők számítása

2. az Mi metszéspontok számítása

3. O előmetszéssel, a metszéspontokból és szögfelezőkből

4. E1 E2 E3- t O -ból és δei –ből, előmetszéssel

5. r = OE1 = OE2= OV, ellenőrzéssel.

13.3.9 Két kör metszéspontjainak számítása

Adott: r1 r2 O1 O2 Számítandó: M1 M2.

13.16. ábra: Két kör metszéspontja

Megoldás: ívmetszéssel, de visszavezetve poláris pont számítására.

1. a = O1O2 és δO1O2számítása

2.

3. M1 -t polárisan O1 -ből r1 és δO1M1 = δO1O2

4. M2 -t polárisan O1-ből r1 és δO1M2O1O2

5. Ellenőrzés: O2M1 =O2M2 = r2.

13.3.10 Példa csatlakozó körívek számítására

Az előző feladatok megoldása során nyert ismereteket a körívek különféle csatlakozásai számításakor is felhasználhatjuk. Lássuk ezt a 3.17 ábra példáján keresztül.

Adott: e1 e2 E1 r1 r2 Számítandó:E2 V O1 O2

A megoldáshoz szükséges tudni, hogy a két kör közös érintőjére mindkét kör sugara merőleges, ezért V az O1 és O2 középpontokat összekötő egyenesre esik.

A megoldás lépései:

13.17. ábra: Csatlakozó körívek és egyenesek számítása

  1. O1 számítása polárisan az e1 egyenesen, E1 pontból, δE1O1A+90o irányban, r1 távra,

  2. S segédpont előmetszéssel O1 pontból δO1SA+90o és B pontból δB iránnyal

  3. a és t távolságok számítása a=O1S+r2 és t=

  4. E2 –t polárisan: S pontból δSE2B±180o irányban, t távolságra

  5. O2-t polárisan E2 től δE2O2B+90o irányban, r2 távolságra

  6. V pontot polárisan O1 –ből δO1O2 irányban, r1 távolságra

  7. Ellenőrzés: VO2=r2.

A fenti példa csak egy lehetséges eset, de bemutatja azt, hogy egy összetett feladat megoldása is felépíthető, ha egy alakhelyes vázlaton felrajzoljuk az adott szitu-ációt, számba vesszük az ismert adatokat és a meghatározást onnan kezdjük, ahol az ismeretlenek elegendőek a következő adat előállításához, majd – az eredmény felhasználásával – folytatva a számításokat, végül ismert lesz minden adat. Ellenőr-zésül olyan megoldást kell lehetőleg választani, amely független a számítási sor-rendtől, illetve a kiindulási adatok között szereplő adatot a számítottból vezettük le.