Ugrás a tartalomhoz

Nagyméretarányú térképezés 14., Kitűzések

Dr. Vincze László (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

14.7 Körívek kitűzése

14.7 Körívek kitűzése

Előfordulása: utak, vasutak és egyéb nyomvonalas és létesítmények,

parképítést, stb. megelőző kitűzések feladatainál gyakori.

Változatai:

Körív főpontok (E,V,M,K,O)

Körív részletpontok

kitűzése

A.) érintőről (E,V,K)

A.) érintőről

B.) K ívfőpont M -ből polárisan

B.) kerületi szögekkel

C.) mérési vonalhálózatról

C.) sokszögeléssel

D.) meghosszabbított húrról

E.) húrmagasság negyedelésével

F.) főpontból, tetszőleges iránnyal

G.) mérési vonalhálózatról

történhet.

14.7.1 Körívfőpontok kitűzése egyenesekről

Adott: a terepen a két egyenes e1,e2, továbbá ismerjük r –t, amint a 14.15 ábrán láthatjuk. A körív főpontjai az: E,V és K pontok.

14.7.1.1 Az „E” és „V” főpontok kitűzése

Alapfeltétel: a középponti szög (α) ismerete. Amennyiben nem adott, meghatározzuk.

14.15. ábra: Az E és V érintési pontok kitűzése az érintő egyenesekről

  1. Ha a metszési szög ( ω) közvetlenül mérhető

    1. Mérjük: a metszéspontnál levő ω szöget, műszerrel (az egyenesek metszéspontjában felállva, irányozva az egyenes egy-egy távolabbi pontjára). Ezután:

    2. Az érintési pontok kitűzési méretének meghatározása

α =180 – ω és t= r . tg ()

  1. Ezután az M-ből t távolságra az egyeneseken az E és V főpontok hossz-méréssel kitűzhetők.

b.) Amennyiben ω közvetlenül nem mérhető

1. Az egyenesek közti A, B segédpontok közbeiktatásával β és γ- t mérhetjük

(esetleg a segédpontok között további töréspontokat

létesítünk és mérjük azokon is a belső szögeket β i), ezután:

2. α = 360 – (β +γ), vagy általánosan: α = (n–1)*180 – Σ β i

3. tAM és tBM számítása az AMB Δ-ből sinus tétellel, majd

  1. tAE=t-tAM , illetve tMB számítása után

  2. A-ból, illetve B-ből hosszméréssel E és V pontok kitűzhetők.

c.) Kettőnél több segédpont esetén

14.16. ábra: Érintőn mért kitűzési méretek, amennyiben 2-nél több segédpontot alkalmaztunk

  1. Ebben az esetben egy helyi rendszerben kiszámítjuk a sokszögvonalat a 14.16 ábra szerint, majd számítjuk a d záróoldal hosszát képlettel a vetületek összegéből.

  2. Utána a β és γ szögeket kell levezetni az ábrából: majd

  1. Ezután a b.) pont 3-5 lépésével számíthatók a hosszak a kitűzéshez.

14.7.1.2 A „K” körívfõpont kitűzése

Háromféle megoldása ismeretes:

  1. (segéd-)érintőről hosszméréssel,

  2. e1 és e2 érintő egyenesekről (vagy részletéről) merőlegesen,

  1. M metszéspontból polárisan.

	

Megoldások:

a.) Segédérintőről , hosszméréssel

14.17. ábra: K főpont kitűzése (segéd-)érintőről

Mivel a K -pontban húzott segédérintőnek az e1 és e2 egyenesekkel való metszéspontjai azonos c távolságra van (lévén, hogy szögfelezőben metszi az egyeneseket):

.

A segédérintő az e1 és e2 egyenesen a c távolsággal kitűzhető, majd K a segédérintőn c -t kimérve, a végméret ellenőrzésével (2 c) kitűzhető.

b.) Az e1 és e2 egyenesről, merőlegesen (14.18 ábra)

Ha a K pontot az EO egyenesre vetítjük, a vetítési pontnál levő derékszögű Δ-ből egyszerűen kiolvasható:

1.

2. , utána

3. E, vagy V főpontból ortogonálisan végezhető a kitűzés.

14.18. ábra: K pont kitűzése az egyenesekről merőlegesen, vagy az M-ből polárisan

c.)K főpont kitűzése M -ből polárisan (14.18 ábra)

1. Az OME Δ -ből MK=t=h-r,

2. de így .

3. δMKME – (90– α/2) számítása után

4. a K pont polárisan kitűzhető.

A köríves feladatokhoz szükséges lehet még az egyes feladatokhoz az ívhossz számítása, mely az

, illetve

képletekkel számítható, ahol

r = a körív sugara

α= a középponti szög

=Pi értéke (3,14 .....)

”(ró)= analitikus szögegység (egy radián) másodpercben: 206264.5.

14.7.2 Körívfőpontok (E,V,K) kitűzése mérési vonalhálózatról

Amennyiben a főpontok koordinátája is ismert, alappontok között a kitűzés a már ismertetett ortogonális, vagy poláris módszerrel elvégezhető.

14.7.3 Körív részletpontok kitűzése

A körív főpontjainak a kitűzésével a körív helyzetét csak nagy vonalakban rögzíthettük, de magát az ívet valójában a köríven fekvő részletpontok határozzák meg. Ezek közül a köríven annyi részletpontot kell kitűznünk, amennyi a körív alakját a célnak megfelelő mértékben meghatározza, egyértelművé teszi a további munkálatokhoz. A kitűzendő részletpontokat általában egymástól egyenlő távolságban vesszük fel. Előfordulhat azonban, hogy bizonyos feltételek kielégítése miatt a részletpontok közötti távolság eltérő. a távköz függ a sugár nagyságától is. Belterületen a távolságot a földrészlethatárok helye és az elvárt pontossági követelmény együttesen határozza meg. Meghatározhatja a részletpontok távolságát a húrmagasság megengedett értéke, vagy megadhatják, hogy a középponti szöget (és az ívet is) hány részre kell felosztani.

A körív részletpontok kitűzésének módjait már felsoroltuk, most ezek bemuta-tására kerül sor.

14.7.3.1 Körív részletpontok kitűzése érintőről

A részletpontokat érintőről derékszögű koordinátákkal tűzzük ki. Ez történhet:

  • egyenlő abszcisszákkal, vagy

    • egyenlő távolságra a köríven (azonos húrhosszakkal).

14.19. ábra: Körív részletpontok kitűzése érintőről, egyenlő abszcisszákkal

a.)Egyenlő abszcisszákkal való kitűzésnél a 14.19. ábrának megfelelően az ordináták és az abszcisszák között az

, illetve

összefüggés áll fenn.

Mivel az x értéke r-hez képest kicsi, kielégítő eredményt kapunk, ha a képlet sorbafejtése után a magasabbrendű tagokat elhanyagoljuk, és y értékét az

közelítő képlettel határozhatjuk meg.

A gyakorlati munkában az értékeket ívkitűző táblázatokból (pl. Nemesdy Ervin-féle Körív kitűzési kézikönyvből) vesszük át.

b.) Célszerűbb azonban az egyenlő abszcissza különbségű pontok helyett az egymástól egyenlő távolságra levő pontokat kitűzni.

14.20. ábra: Körív részletpontok kitűzése érintőről, azonos húrhosszakkal

A pontokat összekötő húrhoz (h) tartozó középponti szög fele a:

képletből számítható.

A részletpontoknak az érintőre vonatkozó kitűzési méreteit a 14.20 ábra és az x ≈ h alapján az alábbi összefüggések szerint határozhatjuk meg:

x1 = r sin α' ; y1 = r - r cos α' kiemelés után: y1= r ( 1 - cos α' ) ;

x2 = r sin 2 α' ; y2 = r ( 1-cos 2 α' ) ;

..................... ...............................

xn = r sin n α' ; yn = r ( 1-cos n α' ) ;

ahol n a kitűzendő részletpontoknak az ív kezdőpontjától (E) számított sorszáma.

Ezek a kitűzési méretek is kiírhatók a Nemesdy-féle táblázatokból.

c.) Nagy sugarú köríveknél, ha az érintési egyenestől távolodunk, hosszú ordinátákat kell kitűznünk. Ilyenkor a részletpontok kitűzését célszerűbb a 14.21 ábrának megfelelően végezni, amikor nemcsak a kezdő és a végponthoz tartozó érintőket, hanem az ív K középpontjának érintőjét is felhasználjuk a feladat megoldásához.

két külön ábra kell C és D-hez

de még lásd NL

14.21. ábra: Nagysugarú ívek pontjainak kitűzése

d.) A részletpontokat az ív kezdő (E) és végpontját (V) összekötő EV húrról is kitűzhetjük. Ebben az esetben a 14.21. ábra jelölése szerint ki kell számítani az

m = r ( 1 - cos ) és = r sin húrmagasságot (illetve a húr félhosszát).

Utána kivonással számíthatjuk ki a húrra vonatkozó kitűzési méreteket.

Az ábra szerint: x'2 = – x2 és y'2 = m - y2.

14.7.3.2 Kerületi szögekkel történő körív-részletpontok kitűzése

Az ismert geometriai tétel szerint: adott körben tetszőleges nagyságú ívhez (húrhoz) tartozó középponti szög kétszerese az ugyanezen ívhez tartozó kerületi szögnek.

14.22. ábra: Körív részletpontok kitűzése kerületi szögekkel

A feladat kétféleképpen merülhet fel:

  • a húrhosszak adottak vagy

  • a középponti szögek ismertek.

a.) A 14.22 ábra szerint a körív részletpontjaihoz tartozó húrok ismeretében a kerületi szögek számíthatók a

sin ϕi = képletből.

Ellenőrzés: ϕ1 + ϕ2 + ........... + ϕn = .

b.) Ha a részletpontokhoz tartozó középponti szögek (2 ϕi) az ismertek, akkor a húrhossz a hi = 2 r sin ϕi képlettel számítható.

A gyakorlatban a részletpontokat az ábra szerint tűzzük ki.

  1. Szögmérőműszerrel felállunk az ív kezdőpontján (E), és az érintő egyenestől (e) kitűzzük a ϕ1; majd a ϕ1 + ϕ2 ; és ϕ1+... + ϕn szögek másik szárához tartozó irányértékeket. (Az első részletpont kitűzése előtt ellenőrizzük, hogy a már korábban kitűzött K pontra és az érintőre mért irányok szöget zárnak-e be egymással. Ha a K pont kitűzésére előírt hibahatárnál kisebb lineáris elmozdulást állapíthatunk meg, az eltérést egyenlően elosztjuk a kitűzendő ϕi szögek között.)

  2. Ezután az első részletpont helyét kijelölhetjük, ha a kitűzött irányra rámérjük a h1 húrhosszat.

  3. Folytatva a kitűzést: a 2 pont helyét úgy kapjuk meg, ha az l2 irányra az 1 pontból h2 húrhosszat mérünk. Ezt a műveletet addig folytatjuk, amíg a főponthoz nem érünk.

Ennél a módszernél a hibahalmozódás eléggé kedvezőtlen, mert minden pont kitűzése az előző pontra támaszkodik. Emiatt a mérést igen gondosan kell végezni.

A kitűzött részletpontok helyzetét a záróhiba arányos részével úgy helyesbítjük, hogy a pontokat az E pont és a részletpont egyenesén mozdítjuk el a megfelelő irányban (mivel a záróhiba a K pontban az EK irányba esik). Ha az utolsó kitűzött pont a K ponton kívülre esik, az E pont felé kell az arányos ráosztást elvégezni.

14.7.3.3 Kitűzés sokszögeléssel

Annak érdekében, hogy a kitűzéskor a körívtől nem kell eltávolodni: szűk bevágásokban, alagutakban, kedvezőtlen kilátású terepen alkalmazzuk ezt a módszert. A szögmérőműszerrel minden részletponton felállunk. Amennyiben adottak a középponti szögek, a következőképpen járunk el.

14.23. ábra: Körív részletpontokkitűzése sokszögeléssel

a.) A kitűzési adatok számítása

  1. Az egyes műszerállásokhoz tartozó β törésszögeket a 14.23. ábrának megfelelően a húrokhoz tartozó középponti szögekből, illetve az azokból levezethető kerületi szögekből határozhatjuk meg.

βo = 180° – β1 = 180° – ( + ) β2 = 180° – ( + );

és így tovább...

  1. A kitűzéshez szükségünk van még az egyes húrhosszakra is, amit a:

hi = 2 r sin összefüggésből számíthatunk.

b.) A kitűzés végrehajtásának

  1. első lépése az, hogy szögmérőműszerrel felállunk az ív kezdőpontján (E), és megirányozzuk az érintő egyik kitűzött pontját. Leolvassuk a vízszintes kört (1e), majd képezzük az első oldal irányértékét:

11 = 1e + βo .

  1. Ezután beállítjuk a számított irányértéket a vízszintes körön, és a kitűzött irányra rámérve a h1 oldal hosszát, eredményül az első részletpont helyét kapjuk.

  2. Majd átállunk az első kitűzött pontra és kitűzve β1 irányt, kitűzzük rá a h2 sokszögoldalt.

  3. Mindaddig folytatjuk a kitűzést, amíg az utolsó részletponthoz érünk, ahol kitűzzük a sokszögvonal „zárópontját”. Az így kitűzött K' pont és az ív főpontjaként kitűzött K pont közötti eltérést (ha az a megengedett hibahatárnál kisebb) a részletpontokra arányosan osztjuk el, a záróhiba irányával párhuzamosan. A megengedettnél nagyobb eltérés esetén a kitűzést megismételjük, illetve a hiba okát megkeressük.

Rövid oldalakkal való kitűzésnél a hibahalmozódás miatt a módszer azonban igen kedvezőtlen. Ilyenkor csak minden második pontot tűzzük ki sokszögeléssel és a kihagyott pontokat ortogonálisan tűzhetjük ki a húrról.

14.7.3.4 Meghosszabbított húrról való kitűzés

A részletpontokat meghosszabbított húrról való kitűzésnél is derékszögű koordinátákkal tűzzük ki. A 14.24. ábrának megfelelően az első részletpontot az ív főpontjának (E) érintőjéről, míg a többit a megfelelő két ponthoz tartozó húr meghosszabbított vonaláról tűzzük ki.

14.24. ábra: Körív részletpontok itűzése meghosszabbított húrról

Ha a részletpontok egymástól egyenlő távolságra vannak, a számítás egyszerű.

1.) A középponti szö,g a: sin = képletből határozható meg.

2.) Az érintőre vonatkoztatott kitűzési méreteket az

y' = h sin ; x' = h cos ;

3.) a húrokra vonatkoztatott méreteket pedig az

y = h*sin α' és x = h* cos α’ képletekből számíthatjuk ki.

Az eljárást csak kevésbé igényes kitűzéseknél alkalmazzuk annak ellenére, hogy igen rugalmas, a fedett terephez jól alkalmazkodó módszer. A kedvezőtlen hibahalmozódás miatt azonban a kitűzés megbízhatósága kicsi.

14.7.3.5 Kitűzés húrmagasság negyedeléssel

Nagy sugarú, lapos ívek alkalmazható a húrmagasság negyedeléssel való kitűzési mód. Ebben az esetben ugyanis a körívet parabolaívnek tekinthetjük.

14.25. ábra: Körív részletpontok kitűzése a húrmagasság sorozatos negyedelésével

A húrhoz tartozó húrmagasság: , ahol (a 14.25 ábra alapján)

m = r ( 1 - cos ) és h az EV húr hossza.

A 14.25. ábrának megfelelően a részlet-pontokhoz tartozó húrmagasságra (m') az alábbi képlet írható fel (h’-t Pythagoras tételéből, majd h-t a húrmagasság képletéből kifejezve helyettesítjük be):

m' = = = + = +

A sugár és a húrmagasság viszonya miatt az első tag elhanyagolható, így a közelítő képlet: m' = .

Az eljárás egyszerű és gyors, de kielégítő eredményt azonban csak nagy sugarú, lapos íveknél ad. Kisebb sugarú íveknél csak az ív megközelítő helyének a kijelölésére (pl. tereprendezéshez) alkalmazható.

14.7.3.6 Főponthoz kapcsolódó, tetszőleges irányú egyenesről történő kitűzés (Zelcsényi-féle módszer)

Egy tetszőlegesen választottmérési vonalról úgy is kitűzhetők szabatosan a körív részletpontjai, hogy nem kell kiszámítani azok országos koordinátáit. Az eljárásnak előnye, hogy kedvezőtlen terepen is lehetőségünk van a hosszmérésre legalkalmasabb mérőpályát megkeresni, és a mérési vonalat ezen vezetni.

14.26. ábra: Körív részletpontok kitűzése egyik főponthoz kapcsolódó tetszőleges irányú egyenesről, derékszögű koordinátákkal

Az ábra Zelcsényi Géza – volt főiskolai tanár – által kidolgozott eljárás elvét szemlélteti, mely nemcsak a végrehajtás, hanem a megbízhatóság szempontjából is kedvező, mert a számítás helyességére is ellenőrzést kapunk. A körív-részlet-pontok kitűzésére eddig ismertetett eljárások közül ez a módszer a legrugalmasabb, és a legpontosabb eredményt is ez biztosítja.

A feladat hasonló a tájékozott főirányról való kitűzéshez, de itt – amennyiben a főpontokat előbb tűzzük ki - a végméretre ellenőrzésünk van. A körívpontok derékszögű kitűzési adatait a tetszőleges irányú (de az egyik főponthoz: pl. az E/V-hez, illetve a K-hoz csatlakozó) egyenesre számítjuk ki.

Amint látjuk, a terepi mérési (kitűzési) vonallal az O ponton át szerkesztettünk egy párhuzamost. A helyi mérési vonal b tengelye az E pontban egybeesik az E pontnak erre a párhuzamosra vetítő egyenessel. Így a talppontnál derékszögek keletkeztek, melyeknek a körívpontoknál levő szöge lényegében a helyi irányszög (illetve annak kiegészítő szöge). Ezeket viszont egyszerűen számíthatjuk.

Amennyiben a 14.26 ábra szerint az E pontból induló mérési vonal irányát az egyenestől (β: a kitűzési vonal és az érintő által bezárt szög) megmérjük, a kitűzési vonal derékszögű rendszerében az egyes részletpontokból az O középpontokba mutató sugár helyi „irányszöge(δ’i) számítható:

δ’E (merőleges szárú szögek lévén),

δ’1=δ’E+α’1 (mert α’1 az 1-sz. pontnál az előző sugárral párhuzamos miatt váltószög)

δ’2=δ’1+α’2; és így tovább...

ahol α'i az ábrának megfelelően értelmezett középponti szög.

A körív részletpontokhoz tartozó sugarak helyi rendszerű irányszögei 'i) ismeretében a részletpontok kitűzési méreteit (az O-ból a mérési vonallal párhuzamos egyenesre vetített pontoknál jelentkező háromszögekből) az alábbi képletekkel számíthatjuk.

a1 = r (sin δ'E - sin δ'1) b1 = r (cos δ'E - cos δ'1)

a2 = a1+ r (sin δ'1 - sin δ'2); b2 = b1 + r (cos δ'1 - cos δ'2) ;

an = an-1 + r (sin δ'n-1 - sin δ'n) ; bn = bn-1 + r (cos δ'n-1 - cos δ'n).

Ezekkel a gépi számításra is alkalmas képletekkel a derékszögű koordináták egyszerűen számíthatók. (A képletekben ezért alkalmazható ez a sorrend – vagyis az előzőből vonjuk le a következőt –, mert a sin és a cos függvények a kiegészítő szögek esetében előjelhelyes vetületeket számolnak).

A kitűzés elvégezhető egyetlen irányról is, de hosszú lapos íveknél, vagy ha az ordináták túl nagyok lennének, ezért célszerűbb a középponttól (K) két irányt kitűzni. Természetesen ilyenkor mindkét vonalra külön-külön számítjuk a részletpontok helyi koordinátáit.

Felvehetjük a kitűzési vonalat úgy is, hogy iránya párhuzamos legyen az országos koordinátarendszer valamelyik tengelyével. A kitűzési méretekből ebben az esetben egyszerű módon, összeadással kapjuk meg a részletpontok országos rendszerbeli koordinátáit.

Mindenképpen arra kell törekedni, hogy

  • jó mérőpálya mellett,

  • minél rövidebb ordinátával,

  • minél több pont legyen kitűzhető ugyanarról a vonalról.

14.7.3.7 Körív részletpontok kitűzése mérési vonalhálózatról

Ha megfelelő helyzetű alappontjaink vannak, a főpontokkal együtt tűzzük ki a körív részletpontokat is, mert így biztosíthatjuk a legjobban a kitűzött pontok összhangját.

A kitűzési méretek transzformációs számításához természetesen ismernünk kell a részletpontok országos koordinátáit.

A koordinátákat számíthatjuk polárisan az ív középpont koordinátáiból a sugár (r) távolságában, ha a középponti szögek ismeretében meghatározzuk minden részletpontra az irányszöget.

Ennek a számításnak hátránya, hogy függetlenül számítjuk mindegyik részletpont koordinátáit, ezért nincs ellenőrzésünk az egyes pontok számítására.

Szigorú ellenőrzéssel számíthatjuk a koordinátákat, ha az ív eleje (E) és az ív vége (V) pontokhoz csatlakozó sokszögvonalba foglaljuk a részletpontokat.

Az oldalak hosszát és a törésszögeket a sokszögeléssel történő kitűzésnél ismertetett módon számíthatjuk. Hogy ne keletkezzék záróhiba a kerekítés vagy az elhanyagolás hibáiból, az oldalak hosszát mm élességgel, a szögfüggvényeket min. 6 tizedesre vegyük figyelembe.

Amennyiben a számítást polárisan végezzük, az adatok felhasználását és kiírását gondosan ellenőrizni kell.

Ha középponti szögek azonos nagyságúak, akár egy programozható zsebszámológéppel is gyorsan, folyamatosan számíthatjuk a körív-részletpontok koordinátáit. Bebillentyűzzük és tároljuk a középpont (0) koordinátáit, a sugarat (r), a két szomszédos részletpontot összekötő ívhez tartozó középponti szöget (α') és a középpontból az ív kezdő főpontjára (E) értelmezett irányszöget oE). A program folyamatosan számítja a tárolt szögek összeadásával a poláris irányok irányszögeit, és egyenként kijelzi a részletpontok koordinátáit.