Ugrás a tartalomhoz

Topográfia 1., Térképészeti alapfogalmak

Mélykúti Gábor (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

1.6 Alapfelületek

1.6 Alapfelületek

A Föld fizikai felszínén végzett méréseinket fel kívánjuk dolgozni, segítségükkel számításokat akarunk végezni (pl. távolság, terület, stb.), akkor a Föld alakját nem csak fizikai értelemben (nehézségi erő, geoid), hanem matematikai formában is meg kell határoznunk. A Föld nehézségi erőterét leíró függvény meghatározásához ismerni kellene a Föld fizikai alakját, a Föld belsejében lévő anyag tömegét, sűrűségeloszlását, a Föld és a körülötte lévő égitestek mozgását. Ez nagyon sok ismeretlen paraméter, a geoid matematikailag csak végtelen hosszú függvény-sorokkal lenne leírható, ezért csak közelítő megoldásokra van lehetőségünk. A közelítéshez véges számú gömbfüggvény sorokat, vagy matematikailag egyértelműen leírható geometriai alakzatokat alkalmazunk.

A Föld elméleti alakját matematikailag egyértelműen meghatározható (az elméleti, vagy a gyakorlati igényeket kielégítő) közelítő felületek a vízszintes értelmű geodéziai mérések alapfelületei.

A Föld fizikai felszínén elhelyezkedő pontok helyének vízszintes értelmű meghatározásához a pontokat az alapfelületre vetítjük és a számításokat ezen az alapfelületen hajtjuk végre.

1.6.1 A geoid közelítő felületei

Az elvárt eredménytől függően a közelítés különböző mértékével élhetünk. Ennek függvényében több alapfelület is alkalmazásra kerül a geodéziai, térképészeti gyakorlatban. A különböző típusú alapfelületek alkalmazásának fő oka, hogy az egyszerűbb egyenletekkel leírható felületeken a számítások könnyebben végezhetők, de ezek az egyszerűbb felületek csak területileg korlátozott mértékben alkalmazhatók a fellépő nagy (a feladattól függő meg nem engedhető mértékű) torzulások miatt.

1.6.1.1 Szintszferoid

A Föld nehézségi erőterének leírásához használt gömbfüggvény-sorok véges számú tagját figyelembe véve kapjuk a szintszferoidokat. A Föld elméleti alakját, a geoidot legjobban közelítő, a tengerszint magasságában elhelyezkedő szintszferoidot normál szferoidnak, vagy földi szferoidnak is nevezik. Ezt az alapfelület a Föld alakjának egyre pontosabb meghatározására használják, igen bonyolultak az összefüggései. A napi mérnöki gyakorlatban nem használható.

1.6.1.2 Forgási ellipszoid

A Föld elméleti alakját, a geoidot, ill. az őt helyettesítő normál szferoid méretét jól megközelítő szabályos matematikai (geometriai) felület, a forgási ellipszoid. A forgási ellipszoidot a fél nagytengelyének (a) és a fél kistengelyének (b) a hosszával, vagy a fél nagytengely hosszával és a lapultsági mérőszámával (f=1-b/a) határozzuk meg. A Földet helyettesítő forgási ellipszoidot úgy képzeljük el, hogy egy ellipszist a kistengelye körül megforgatunk, és ez a tengely egybeesik a Föld forgástengelyével.

A forgási ellipszoid paramétereit az idők során többször meghatározták, így több méretű és elnevezésű ellipszoid is használatban volt, ill. használatban van. Magyarországon a következő elnevezésű ellipszoidokat használtuk ill. használjuk térképezési célokra:

  • Bessel-féle ellipszoid (1842),

  • Kraszovszkij ellipszoid (1942),

  • IUGG/1967 ellipszoid („International Union of Geodesy and Geophysics”, más néven: GRS67, „Geodetic Reference System”),

  • WGS-84 ellipszoid („World Geodetic System”, 1984).

1-29. ábra Forgási ellipszoid

Forgási ellipszoidot alapfelületként kontinentális, vagy egy egész országra kiterjedő mérések (elsősorban alapponthálózatok) számításakor használják.

1.6.1.3 Gömb

Ha a térképezendő terület kisebb, mint 500 km2, azaz egy r < 13 km sugarú körön belül dolgozunk, akkor az ellipszoid és az ellipszoidhoz a terület középpontjában a legjobban simuló gömb közötti eltérésből a vízszintes értelmű adatokban (pl. távolságokban) jelentkező különbség elhanyagolható, és a gömböt tekinthetjük alapfelületnek. A különböző ellipszoidokhoz a legjobban simuló gömb paramétereit Gauss módszerével két alkalommal is kiszámították, ezért az így előállított gömböket régi ill. új magyarországi Gauss-gömbnek nevezzük. Mindkét esetben az ellipszoid és a gömb érintési pontja a Gellérthegy nevű felsőrendű háromszögelési alappont volt. Az összetartozó alapfelületek:

  • Bessel-féle ellipszoid – régi magyarországi Gauss gömb,

  • IUGG/1967 ellipszoid – új magyarországi Gauss gömb.

Gömböt alapfelületként az említett távolsághatáron belül, alappontok sűrítésekor, vagy speciális, nagy pontosságot igénylő feladatok végrehajtása során használják.

1.6.1.4 Sík

Ha a térképezendő terület kisebb, mint 50 km2, azaz egy r < 4 km sugarú körön belül dolgozunk, akkor a gömb és a terület középpontjában a gömböt érintő sík közötti eltérésből a vízszintes értelmű adatokban (pl. távolságokban) jelentkező különbség elhanyagolható, és a síkot tekinthetjük alapfelületnek. Ezt alkalmazzuk a napi gyakorlatban a már meglévő alapponthálózat pontjai között (azokra támaszkodva) végrehajtott részletmérések feldolgozásakor.

1.6.2 Alapfelületek elhelyezése, a geodéziai dátum

A forgási ellipszoid paramétereit az egyre pontosabb mérések segítségével többször is meghatározták. De akkor felmerül még egy kérdés, hogy a meghatározott méretű ellipszoid hogyan helyezkedik el a Föld elméleti alakjához, a geoidhoz viszonyítva. Ezt nevezzük geodéziai dátumnak. A nagy területre kiterjedő térképezési munkákat az államok szervezik, mindig az adott állam területére. Az államok maguk határozták meg a térképezés alapfeltételeit, módszereit, beleértve az alapfelület meghatározását is. Igen gyakran (szinte minden esetben) ezeket az információkat állambiztonsági, katonai okokból titkosan is kezelték. Ezért az alapfelületet is egyedileg tájékozták, helyezték el a geoidhoz viszonyítva, mégpedig úgy, hogy a területükön a két felület közötti eltérés a lehető legkisebb legyen. Ezt nevezzük lokális elhelyezésnek. Ez természetesen azzal járt, hogy a Föld más területein ennek az alapfelületnek az eltérése a Föld elméleti alakjától igen nagy mértékű is lehetett, de ez senkit nem zavart, hiszen ott nem is végeztek rajta számításokat, az állam határain kívül senki sem tudott méréseket végezni.

1-30. ábra Ellipszoid lokális és globális elhelyezése a geoidhoz

Megváltozott a helyzet a műholdak és még inkább a műholdas helymeghatározó rendszerek (Global Navigational Satelit System - GNSS) elterjedésével. Ezek a rendszerek már nem csak egy állam területén működnek és szolgáltatnak adatokat, hanem az egész Föld felszínén és a tágabban értelmezett légtérben. Ez a globális adatszolgáltatás az egész Földre nézve egységes referencia (koordináta) rendszert igényel. Ennek az alapja csakis egy globális elhelyezésű alapfelület lehet. Az ellipszoid globális elhelyezése azt jelenti, hogy az ellipszoidot úgy helyezik el a geoidhoz képest, hogy az ellipszoid és a geoid közötti eltérések az egész rendszerre nézve a lehető legkisebbek legyenek. Ennek az elhelyezésnek – tájékozásnak – a paraméterei három térbeli eltolás és három tengely körüli elforgatási szög.

Az ellipszoidnak a geoidhoz (Föld elméleti alakjához) viszonyított elhelyezési paraméterei jelentik a geodéziai dátumot (vonatkozási rendszert).

Magyarországon jelenleg két ilyen dátumot használunk, az egyik az IUGG/1976 ellipszoid Magyarországi alkalmazásokhoz meghatározott, lokális elhelyezését leíró HD72 jelű dátum (Hungarian Datum 1972), és a nemzetközileg meghatározott, globális, geocentrikus elhelyezésű WGS 84 (World Geodetic System 1984) dátum (ezt alkalmazzák pl. a GPS mérések esetén).

Láthattuk, hogy a geoid nem szabályos geometriai felület, ezért az ellipszoid és a geoid között – bármilyen elhelyezés esetén is – eltérések mutatkoznak. Ezeket az eltéréseket geoidundulációnak nevezzük. Az ábrákon látható, hogy csak Magyarország területén a lokális elhelyezés esetén mutatkozó (5-8 méter) eltérések és egy globális elhelyezés esetén mutatkozó eltérések (36-46 méter) között lényeges különbség van. A WGS 84 rendszer esetén az egész Földre nézve a geoidunduláció értékek a +/- 100 métert is elérik.

1-31. ábra Geoidunduláció értékek a globális elhelyezésű WGS84 ellipszoid esetén az egész Föld területére http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/datum/datum.html

1-32. ábra Geocentrikus (abszolút) elhelyezésű GRS80 ellipszoidra vonatkozó geoidundulációk térképe. Izovonalköz: 0,2 m. (Ádám at al. 2000)

1-33. ábra Az önálló relatív elhelyezésű és tájékozású IUGG 1967 ellipszoidra vonatkozó geoidundulációk térképe. Izovonalköz: 0,2 m. (Ádám at al. 2000)