Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Újabb irányzatok

Újabb irányzatok

A matematika

A matematikafilozófia hagyományos megközelítései mára már többnyire elavulttá váltak, a matematikában azóta számos paradigmaváltás történt. A közhiedelemmel (a matematikát már a görögök „megcsinálták”) ellentétben a matematika folyamatosan fejlődik. Néhány dolog, ami változott:

Alapok

A matematika felépítésének alapja általában a halmazelmélet, illetve a matematikai logika. Mindkettő a matematika egy újabb, az algebrai topológiából kinőtt ágának, az úgynevezett kategóriaelméletnek speciális esete. A kategóriaelméletben a statikus struktúrákról a folyamatokra helyeződik a hangsúly (struktúra megőrző leképezések). A matematika kategóriaelméleten alapuló felépítésének áttekintéséhez a [8] könyvet ajánljuk.

Számítógépek

A számítógépek teljesítmények növekedése is hatással van a matematika tanulmányozására és kutatására. A számítógép a matematikában olyan, mint a biológiában a mikroszkóp, vagy az asztronómiában a távcső: korábban el nem érhető dolgokat láthatunk vele. Olyan eszköz ez, mint a papír és a toll (a matematikai objektumok egy olyan külső reprezentációja, amely az objektumokat átláthatóbbá teszi), de nyilvánvalóan a gépek számítási ereje egy más szintre helyezi ezt. Emellett a számításelmélet megmutatta, hogy vannak eldönthetetlen problémák, azaz olyan kérdések, melyekre bizonyíthatóan nincs válasz.

Bizonyítás

Az egzakt bizonyítás fogalma is változott, például a következőkben:

  • Bizonyos esetek szisztematikus ellenőrzése számítógép segítségével. Ekkor a bizonyítás helyességéhez a felhasznált algoritmus helyességének (és a számítógépek helyes működésének) belátása szükséges, az output korrektsége közvetlenül általában nem látszik. A négyszínsejtés az első olyan nevezetes sejtés, melyet számítógép segítségével igazoltak [14].

  • A bizonyítás olyan hosszú és komplikált, hogy egy ember nem képes átlátni azt teljes egészében. Klasszikus példa erre a véges egyszerű csoportok osztályozása. A bizonyítás részletei több száz folyóiratcikkben vannak szétszórva [3,  10]. Vannak kísérletek arra (pl. [13]), hogy az egész bizonyítást lehetőleg egyszerűsítve, egy helyen közölve tegyék elérhetővé a jövő matematikusai számára. E nélkül ugyanis még a 21. században is megtörténhet az, hogy az emberiség matematikai tudást veszít.

Valószínűség és irregularitás

Fraktál geometria, káoszelmélet – a szabálytalan alakzatok és folyamatok vizsgálatáról korábban azt gondoltuk, hogy matematikailag nem kezelhetők. A valószínűségszámítás (az esély matematikája) is egy viszonylag új terület.

Kognitív tudományok

A kognitív tudományok a tudat és az intelligencia interdiszciplináris kutatásával foglalkoznak. A tudat egy nagyon összetett, sokoldalú jelenség, így tanulmányozása több tudomány, mint például a számítástudomány, filozófia, pszichológia, mesterséges intelligencia, idegtudomány, lingvisztika, antropológia együttes erőfeszítését igényli. Bár nagyon távol vagyunk még attól, hogy minden kérdést megválaszolhassunk, a kognitív tudományoknak köszönhetően már van valami képünk arról, hogyan történik a gondolkodás, és azon belül a matematikai gondolkodás.

Megtestesült tudat

Az a tény, hogy egy 3 dimenziós fizikai világban élünk (van testünk) nem választható le a gondolkodásról. Ez természetesnek hangzik, de a klasszikus mesterséges intelligencia figyelmen kívül hagyja a tudat megtestesítését, és csak a magas szintű mentális funkciókra fókuszál (pl. táblajátékok játszása, stb.).

Kognitív tudatalatti

A számítási műveletek zömét az agy a tudatalatti szintjén végzi. Ehhez az alacsony szintű gondolkodási folyamathoz nem tudunk közvetlenül hozzáférni, nem tudjuk közvetlenül vizsgálni.

Metaforikus gondolkodás

A metafora nem csupán egy költői kifejező eszköz, hanem az emberi gondolkodás és megértés egy alapvető kelléke: valami megértése egy másik dolog által kifejezve.