Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Osztályozás

Osztályozás

Az osztályozás, vagy más néven klasszifikáció egy az emberek által gyakran végzett (elméleti) tevékenység, mely alatt valamilyen sokaság elemeinek osztályokba rendezését értjük: a valamilyen szempontból azonos (van olyan közös tulajdonság, mellyel az osztály minden eleme rendelkezik, de egyetlen osztályon kívül eső elem sem) elemeket egy osztályba soroljuk. Az egyes osztályokon további osztályozás végezhető. Az osztályok egyes elemei nyilván lehetnek különbözőek (pl. más a méretük), de az osztályozó tulajdonság szempontjából azonosak (pl. a struktúrájuk ugyanazt a mintát követi).

Véges Abel-csoportok

Klasszikus példa osztályozásra a véges Abel-csoportok alaptétele. Minden véges Abel-csoport felbontható prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatára. A felbontásban szereplő tényezők rendjei sorrendtől eltekintve egyértelműen meghatározottak.

Ornamentális szimmetriák

Geometriai motívumok szimmetrikus ismétlésével szép mintákat hozhatunk létre. A motívumok színe és művészi formája a végtelenségig variálható, de az alapul szolgáló szimmetria-típusok száma véges. Az euklideszi síkban 17 tapétacsoport, vagy más néven kétdimenziós tércsoport van [124]. Granadában (Andalúzia, Spanyolország), a mór építésű Alhambra palotában mind a 17 csoportból láthatunk mintákat. Érdekes matematikai kihívás lehet turisták számára ezek felkutatása. [5] ezen szellemi kaland élményszerű leírását tartalmazza. Miért pont 17? A válasz egy hosszú és bonyolult bizonyítás, de alapvető tény, hogy csak néhány olyan síkidom (csempe) létezik, mellyel a sík átfedés- és hézagmentesen lefedhető. 3 dimenzióban 230 tércsoport (kristálycsoport) van.

A tapétacsoportok osztályozása teljes, így ha találunk egy látszólag újnak tűnő mintázatot, az is szükségképpen a 17 eset (lásd 2.3. ábra) valamelyikébe tartozik.

2.3. ábra. A 17 szimmetria-típus alkalmazása a G betűre, mint mintára. A minták az Inkscape (http://inkscape.org) vektorgrafikus rajzolóprogrammal lettek előállítva.

Véges egyszerű csoportok

A véges egyszerű csoportok klasszifikációja, vagy más szóval a szimmetria építőköveinek meghatározása, a matematikai egyik legfontosabb eredménye.

Egyszerű csoportok

Gyakran értünk meg dolgokat úgy, hogy azt részekre bontjuk mindaddig, amíg a (tovább már nem bontható) építőköveihez el nem jutunk, majd megvizsgáljuk, hogy ezekből a részekből hogyan rakható újra össze az egész. Olyan ez, mint amikor a fizikában egy makroszkopikus objektumot atomjaira bontunk, majd az atomokat elemi részecskékre. A matematika ugyanezt a módszert használja. Az egész számok építőkövei például a prímszámok, ezekből az összetett számokat a szorzás (ami tulajdonképpen egy ismételt összeadás) segítségével tudjuk előállítani.

2.4. ábra. Az egészek prímfelbontása és a csoportok felbontása közötti párhuzam

Természetes számok

Csoportok

Építőkövek

Prímek

Egyszerű csoportok

Kompozíció

Szorzás/Osztás

Bővítés/Faktorizálás

Mivel a csoportokat a számokhoz hasonlóan mérésre használjuk, szükségünk lenne csoportokra vonatkozó dekompozíciós tételre (2.4. ábra). De vajon mik lesznek a szimmetriacsoportok építőkövei? Az világos, hogy valamilyen részcsoportoknak kell lenniük, vagyis a szorzásra zárt részhalmazoknak. Ezek közül az „osztók” szerepét az úgynevezett normális részcsoportok látják el. Ezt úgy értjük, hogy ha vesszük egy csoport valamely normális részcsoportja szerinti mellékosztályainak a halmazát, majd a csoportbeli szorzás felhasználásával értelmezzük azon egy is szorzást, akkor egy újabb csoporthoz jutunk (faktorcsoport), melyek elemei tulajdonképpen az alapcsoport bizonyos „részei”. A pozitív egészek építőköveinek pontosan két osztója van: és önmaga; a csoportok építőkövei azok melyeknek pontosan két normális részcsoportjuk van: a csak a neutrális elemet tartalmazó részcsoport, illetve önmaga. Ezeket nevezzük egyszerű csoportoknak.

A tétel

Minden véges egyszerű csoport a következők egyikével izomorf:

  1. Prímszám rendű ciklikus csoport. Ezek mind Abel-csoportok.

  2. Legalább 5-öd fokú alternáló csoport (5 vagy annál több elem páros permutációit tartalmazza).

  3. Az alábbi típusú egyszerű Lie-csoportok:

    1. klasszikus Lie-csoport, nevezetesen a projektív speciális lineáris csoportok, unitér csoportok, szimplektikus csoportok, és a véges testek fölötti ortogonális lineáris csoportok;

    2. a kivételes és a csavart Lie-csoportok (most ide soroljuk az úgynevezett Tits-csoportot is, mely szigorú értelemben véve nem Lie-csoport).

  4. A 26 úgynevezett sporadikus csoport valamelyike.

A tételt igaznak tekintjük, a bizonyításban az utolsó ismert lyuk 2004-ben lett betömve. A bizonyítás azonban darabokban van, több száz folyóiratcikk együttes eredménye. Ezek feldolgozására és egyesítésére (egységesítésére) tettek kísérletet a [313] könyvekben. Talán nem nagy merészség azt állítani, hogy nem létezik ember, aki a bizonyítást teljes egészében ismeri, átlátja, és érti. A bizonyítás helyességébe vetett hit viszont útját állja annak, hogy az idősebb generáció helyébe lépő fiatal kutatók, PhD hallgatók ezzel tovább foglalkozzanak, nekik ez már nem kihívás, hiszen látszólag „készen van”. A teljes matematikai szövegkorpusz jól kereshető elektronikus tárolása a 21. század lehetősége. Ezek megértéséhez azonban emberi kapacitásra van szükség. E nélkül ugyanis a tudás elveszhet.

Sporadikus csoportok

2.5. ábra. Sporadikus csoportok. A vonalak a részcsoport-viszonyt jelzik. A sötétebb árnyalat jelzi, hogy az adott sporadikus csoport nem részcsoportja más sporadikus csoportnak.

A sporadikus csoportok nem tartoznak a tételben említett első három család egyikéhez sem, ők minden szempontból kivételesek [27]. Ezeket általában valamilyen matematikai struktúra automorfizmuscsoportjaként lehet tetten érni. Hermann Weyl szerint a modern matematika vezérelve:

„Ha egy strukturált sokasággal támad dolgod, igyekezz automorfizmuscsoportját meghatározni: a minden strukturális összefüggést megtartó elemtranszformációk csoportját.”[12]

Witt design –

Tekintsük egy 24 elemű halmaz 8 elemű részhalmazainak (oktád) egy olyan rendszerét, melyre igaz, hogy minden ötelemű részhalmaza pontosan egy oktádhoz tartozik. Egy 24 elemű halmaz 5 elemű részhalmazainak száma , és minden oktádban darab 5 elemű részhalmaz van. Jelölje az oktádok számát . Mivel minden 5 elemű részhalmaz pontosan egy oktádban szerepel,

adódik, így

Ez első ránézésre kissé kevésnek tűnhet, hiszen az 5 elemű részhalmazok száma elég nagy. Egy oktád azonban elég sok 5 elemű részhalmazt tartalmaz, így ez egy nagyon tömör struktúra. Nem csoda, hogy olyan sok szimmetriája van.

Leech-rács – körpakolás 24 dimenzióban

2.6. ábra. Körpakolás 2 dimenzióban. A jobb oldali minta a legsűrűbb kitöltése a síknak.

2.7. ábra. 3 dimenzióban az a leghatékonyabb pakolás, ahogy narancsokat vagy ágyúgolyókat szokás egymásra helyezni.

A körpakolás egy régi matematikai probléma. A cél adott térfogat kitöltése minél több gömbbel. Két dimenzióban a megoldás könnyű, lásd 2.6. ábra. Kepler már 1611-ben sejtette, hogy a 3 dimenziós teret a legsűrűbben úgy tudjuk gömbökkel kitölteni, mint ahogy általában a narancsokat elrendezni szokás a zöldségboltban (2.7. ábra). Ennek bizonyítása csak 1998-ban történt meg Thomas Hales által, mely először 2005-ben jelent meg [8]. A feladat kiterjeszthető magasabb dimenzióra is. Jóllehet magasabb dimenziós narancsok nincsenek, de a hatékony kitöltés által meghatározott rács használható információátvitelkor, mint hibajavító kód. A helyzet 8 dimenzió fölött eléggé elbonyolódik, de 24 dimenzióban valami különleges történik. A Witt design használatával felépíthetünk egy olyan rácsot, melyben egy 24 dimenziós kör másik 196560-at érint (mint láthattuk, a 2 dimenziós megoldásnál minden kör 6 másikat érint). Ez már nem geometriai, hanem egy kombinatorikai konstrukció. Egy gömb leírásához egy rendezett elem 24-esre van szükség (elég a gömb középpontját megadni). Helyezzük az egyik gömböt az origóra (mind a 24 koordináta nulla), majd tekintsük azokat a gömböket, melyek középpontjai a következők:

  • Alkalmazzuk a Witt design konstrukcióját az halmazra, majd minden oktádhoz rendeljük azt a rendezett elem 24-est, melynek -edik komponense vagy , ha szerepel az oktádban, egyébként pedig 0. Hagyjuk meg ezek közül azokat, melyben a negatív komponensek száma páros. Így

    különböző rendezett elem 24-est (gömböt) kapunk.

  • 2 komponens vagy , a maradék 22 pedig 0. Ilyenből

    darab van.

  • Az egyik komponens vagy , a többi 23 pedig vagy . Ezek száma

Egy-egy példa a fenti három típusra:

Könnyű látni, hogy mind a 196560 pont origótól való távolsága (itt távolságon a koordináták négyzetösszegéből vont négyzetgyököt, azaz az euklideszi távolságot értjük). Továbbá, semelyik két gömbnek nincs közös belső pontja, a szomszédosak érintik egymást.

A Leech-rács automorfizmuscsoportja () is egy sporadikus csoport, melyet John Horton Conway fedezett fel 1968-ban.

Moonshine-elmélet

Az 1970-es évek végén John McKay egy számelméleti cikkben teljesen véletlenül bukkant rá a 196884 számra (a történet bővebben: [10]), melyből a Szörnyeteg (Monster group: az 196884 dimenziós vektortér szimmetriáiból álló sporadikus csoport) és a moduláris függvények egy váratlan kapcsolatára következtetett. Ezt a jelenséget John Horton Conway nevezte el „moonshine”-nak a szó nem hétköznapi értelmében. A moonshine ugyanis mint szleng, illegálisan párolt whiskey-t is jelent – bizonyítva ezzel, hogy a matematikusok sincsenek híján a humornak.

Később kiderült, hogy ez nem csak egy véletlen egybeesés, hanem az elméletnek vannak fizikai vonatkozásai. Úgy látszik tehát, hogy ezek a gigantikus algebrai struktúrák valahogyan jelen vannak a minket körülvevő univerzumban [6].