Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Buffon-féle tűprobléma

Buffon-féle tűprobléma

Egy rövid tűt egy vonalas lapra leejtve, mi a valószínűsége annak, hogy az keresztezni fog egy vonalat? - vetette fel a kérdést George Louis Leclerc, Buffon grófja 1777-ben. Érezhető, hogy ez a valószínűség függ a lap vonalainak távolságától és a tű hosszától. A rövid tű számunkra majd azt jelenti, hogy , azaz a tű egyszerre legfeljebb egy vonalat metszhet.

4.1. ábra. Buffon-féle tűprobléma

A probléma érdekes, de mit keres a -vel foglalkozó fejezetben? Az derült ki, hogy a keresett valószínűség pontosan

ami azért is meglepő, mert ezek szerint egyszerű kísérletezés során közelítő értéket kaphatunk a -re.

Az elsőként közölt bizonyítás magától Buffontól származik, ezzel történt meg a geometriai valószínűségi mező megalapozása.

4.2. ábra. Buffon megoldása - a tű egyenessel bezárt szöge

4.3. ábra. Buffon megoldása - geometriai valószínűségi mező

Tegyük fel, hogy a tű és a hozzá legközelebb eső egyenes által bezárt szög mértéke . Ekkor . Ha a tű metszi az egyenest, akkor a tű középpontjának az egyenestől mért távolsága legfeljebb . Így a kedvező esetek számát az

mértékű terület reprezentálja, míg az összes esetek számát a és oldalú téglalap területe. A keresett valószínűség tehát

A következő bizonyítást először Joseph Emile Barbier publikálta 1860-ban [3].

Ha leejtünk egy tetszőleges hosszúságú tűt (akár a vonalak távolságánál is hosszabbat), akkor a metszéspontok számának várható értéke

ahol annak a valószínűsége, hogy a tű pontosan vonalat fog metszeni. A keresett valószínűség (a tű legalább egy vonalat fog metszeni) ekkor . Ha a tű rövid, akkor nyilván és . A várható érték homogenitásából következik, hogy . Tehát elég lenne azt meghatározni, hogy egységnyi hosszúságú tű esetén mennyi a metszéspontok számának várható értéke.

4.4. ábra. Buffon-féle tűprobléma kör alakú tűvel

Vegyünk most az hosszúságú szakasz helyett egy átmérőjű, kör alakú tűt. Ennek hossza nyilván . Egy ilyet leejtve annak mindig pontosan két közös pontja lesz a vonalakkal, tehát a metszéspontok várható értéke . Írjunk most a körbe és köré is egy-egy oldalú sokszöget. Jelölje a beírt sokszög kerületét . A várható érték lineáris, így a beírt sokszög vonalakkal való metszéspontjai számának várható értéke , továbbá minden olyan vonal, ami metszi a beírt sokszöget, metszeni fogja a kört is, így . A körülírt oldalú sokszög kerületét -nel jelölve hasonló okoskodással jutunk a egyenlőtlenséghez. Innen

miatt

ahonnan adódik. Emlékezve arra, hogy , újra a

megoldást kapjuk.

Mielőtt az olvasó úgy dönt, hogy megpróbálja kísérletezés útján közelíteni a -t, megjegyezzük, hogy a megfigyelt esemény relatív gyakorisága csak nagyon lassan konvergál ehhez a valószínűséghez. Példaként megemlítjük, hogy a szerzők által elvégzett, számítógéppel szimulált kísérletben paraméterek mellett a tű 10000 leejtésből 6305-ször ért vonalat, amely a pontosnak egyáltalán nem mondható becslést adta. Mario Lazzarini -ben azonban azt állította, hogy az általa végzett kísérletből, amikor a tű hossza a vonalak távolságának része, a tű -szor metszett vonalat. Ebből a

hat tizedesjegyig pontos közelítés adódott, ami ellentmondani látszik annak, hogy a fent említett konvergencia lassú. Akkoriban már jól ismerték a közelítést. Ha a tű hossza a vonalak távoságának része, akkor a metszés valószínűsége . Végezzünk kísérletet, és tegyük fel, hogy -szor esik a tű valamelyik vonalra. Becsüljük a valószínűséget a relatív gyakorisággal, -t pedig a racionális számmal. Ekkor a

ahonnan pedig a

egyenlőséghez jutunk. Ha a kísérelek száma, azaz a többszöröse, akkor a bal és jobb oldal egyaránt egész szám. Végezzünk először kísérletet! Ha ebből -szor esett a tű valamelyik vonalra, akkor máris hat tizedesjegyig pontos közelítést kaptunk -re. Ha nem, végezzük el még -szor, és így tovább. Lazzarini a kísérletet pontosan -szor végezte el, mire egyenlőséget kapott. Joggal merül fel a gyanú, hogy a paraméterek és a kísérletek számának megválasztása nem volt véletlen, hanem a közelítendő egy már korábbról ismert közelítő értéke motiválta azt.

  V I D E Ó  

Végezetül megemlítjük, hogy a Buffon-féle tűproblémát Pierre-Simon de Laplace általánosította arra az esetre, amikor a síkot két, egymást metsző párhuzamossereg hálózza be. Ha ezen párhuzamos egyenesek távolsága és , és a tű ezeknél kisebb hossza újra , akkor a keresett valószínűség