Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Előzmények

Előzmények

Ebben a részben a teljesség igénye nélkül említünk meg néhány, a fenti problémák megoldására tett kísérletet. Mint azt látni fogjuk, mindegyik átlépi az euklideszi szerkesztés határait.

Körívekkel határolt síkidomok területe

A kör négyszögesítésével kapcsolatosan először Hippokratész ért el eredményeket kb. 2500 évvel ezelőtt. Bár kör helyett csak „holdacskát” sikerült négyszögesítenie, ezzel elsőként szerkesztett körívekkel határolt síkidomokhoz azokkal azonos területű négyszögeket. Egyik legismertebb észrevétele, hogy az ábrán látható derékszögű háromszög oldalai fölé szerkesztett félkörök által határolt holdacskák területének összege a háromszög területével egyenlő.

5.2. ábra. Hippokratész holdacskái

Ennek igazságát rögtön láthatjuk, ugyanis ha a befogók fölé emelt félkörök területéből kivonjuk azoknak a körszeleteknek a területét, amelyeket úgy kapunk, hogy az átfogó fölé emelt félkör területéből kivonjuk a háromszög területét, éppen a holdak területét kapjuk. Speciálisan, ha a derékszögű háromszög egyenlő szárú, akkor a holdak területének összege megegyezik annak a négyzetnek a területével, melynek csúcspontjai a háromszög oldalfelező pontjai és az átfogóval szemközti csúcsa.

A következő példa egy holdacska és egy kör négyszögesítése. Adott két koncentrikus kör, melyek közül a nagyobbik sugarának négyzete hatszor akkora, mint a kisebbiké. A kisebbik körbe rajzoljunk szabályos hatszöget, majd az , és sugarakat hosszabbítsuk meg az 5.3. ábrán látható módon. Legyenek ezen félegyenesek metszéspontjai a nagyobbik körrel rendre , és . A egyenlő szárú háromszög alapjára rajzoljunk olyan körszeletet, amely hasonló az szakaszhoz tartozó -sel jelölt körszelethez.

5.3. ábra. Kör és holdacska négyszögesítése

Legyen , és . Az és szabályos háromszögek hasonlóak, így . Továbbá, az háromszög csúcsból induló magassága

melyből következik. Tehát az és hasonló körszeletek és területének aránya , és

az 5.3. ábrán látható körszelettel. Jelölje a holdacska területét , a háromszög területét pedig . Ekkor

vagyis . Mindkét oldalhoz hozzáadva a belső körbe írt hatszög területét, a jobb oldalon a holdacska és a kisebbik kör területösszegét, míg a bal oldalon a háromszög és a hatszög területeinek összegét kapjuk. Könnyű látni, hogy szerkeszthető olyan négyzet, melynek területe éppen a jobb oldalon lévő összeg.

Neuszisz szerkesztés

A következőkben feltételezzük, hogy egy adott hosszúságú szakaszt fel tudunk venni úgy, hogy a szakasz két végpontja egy-egy adott görbén legyen, a szakasz tartó egyenese pedig illeszkedjen egy adott pontra. Ez az úgynevezett neuszisz szerkesztés nem végezhető el euklideszi módszerrel, de megoldható egy olyan vonalzóval, mely adott pontja körül elforgatható, és a szakasz hossza, mint távolság fel van rajta tüntetve. Arkhimédésztől ismerjük annak módszerét, hogyan lehet egy ilyen vonalzó segítségével szöget harmadolni.

5.4. ábra. Szögharmadolás neuszisz szerkesztéssel

Legyen adott a harmadolandó szög. Ennek csúcsából rajzoljunk kört a vonalzón feltüntetett távolsággal. Ekkor kijelölhetjük az , a és az szögszár meghosszabbításán lévő pontokat. Helyezzük el a vonalzót úgy, hogy a rajta megjelölt hosszúságú szakasz egyik végpontja az félegyenesre, a másik a körívre kerüljön, valamint a vonalzó illeszkedjen a ponthoz. Így megrajzolhatjuk az egyenest. Jelölje a szöget . Felhasználva, hogy az és háromszögek egyenlő szárúak, és hogy egy háromszög külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szögének összegével, kapjuk, hogy az háromszög külső szöge éppen .

  V I D E Ó  

Nikomédész a kockakettőzést neuszisz szerkesztés segítségével a következőképpen oldotta meg.

5.5. ábra. Nikodémész kockakettőzése neuszisz szerkesztéssel

Tekintsük az téglalapot, melynek oldalai és hosszúságúak, majd hosszabbítsuk meg az és oldalakat, az utóbbit csak az pont felé. Húzzuk meg a kezdőpontú, az oldal felezőpontján átmenő félegyenest, és jelölje ennek a oldal egyenesével vett metszéspontját . A oldalra szerkesszük meg a szabályos háromszöget, legyen ennek a oldalhoz tartozó magassága . Húzzunk a pontból párhuzamost az egyenessel, majd szerkesszük meg azt a ponton álmenő egyenest, melynek ezen egyenes és a egyenes közé eső darabja, vagyis a szakasz hossza éppen (neuszisz szerkesztés). Végül legyen a és egyenesek metszéspontja , valamint az szakasz hossza. A , és háromszögek hasonlóságából

Továbbá a párhuzamos szelők tételét a szögre alkalmazva kapjuk, hogy

így

tehát a szakasz hossza . Az és derékszögű háromszögekből kifejezésével

adódik. A négyzetre emelések elvégzésével, majd átrendezéssel az

egyenlőséghez jutunk, melyet ha összevetünk az elsővel,

adódik. Azt pedig már Hippokratész korábban felismerte, hogy adott esetén a fenti aránypárt kielégítő és szakaszok megszerkeszthetősége ekvivalens a kockakettőzés megoldhatóságával. Valóban, a fenti egyenlőségből és . Az elsőből -t kifejezve, majd a másodikba beírva kapjuk, hogy , vagyis az élű kocka térfogata kétszerese az élű kockáénak.

Szögharmadolás és kockakettőzés origamival

Az origamiról, mint papírhajtogatásról valószínűleg már mindenki hallott, de annak lehetséges matematikai alkalmazásai már kevésbé ismertek. Adott egy négyzet alakú papírlap, a cél, hogy azon pusztán hajtogatás segítségével egyeneseket és pontokat azonosítsunk. Egy hajtás minden esetben egy egyenes megszerkesztését eredményezi. Ezen kívül egyenesnek tekintjük még a papírlap éleit. Az adott, vagy már megszerkesztett egyenesek metszéspontjait adott, illetve megszerkesztett pontoknak tekintjük. Az úgynevezett Huzita-Hatori axiómák írják le, hogy tulajdonképpen mit értünk „hajtás” alatt, milyen hajtások lehetségesek.

5.6. ábra. 1. és 2. axióma

  1. Bármely különböző és pontok esetén hajthatunk olyan egyenest, amely mindkettőjükön áthalad.

  2. Bármely különböző és pontok esetén végezhetünk olyan hajtást, amely -t -ra helyezi.

5.7. ábra. 3. és 4. axióma

  1. Bármely különböző és egyenesek esetén végezhetünk olyan hajtást, amely -t -re helyezi.

  2. Adott pont és egyenes esetén végezhetünk ponton átmenő egyenesre merőleges hajtást.

5.8. ábra. 5. és 6. axióma

  1. Adott és különböző pontok és egyenes esetén végezhetünk olyan hajtást, amely -t -re helyezi, és áthalad -n.

  2. Adott különböző és pontok és és egyenesek esetén végezhetünk olyan hajtást, amely -t -re és -t -re helyezi.

5.9. ábra. 7. axióma

  1. Bármely pont, valamint és egyenesek esetén végezhetünk olyan hajtást, ami -t -re helyezi és merőleges -re.

Könnyű látni, hogy az 5. és 6. axiómák által engedélyezett hajtás nem végezhető el mindig. A 6. axióma végrehajtása nagyobb kézügyességet igényel: a papír csúsztatásával találhatjuk meg a megfelelő pozíciót. Belátható, hogy ez a fentebb tárgyalt neuszisz szerkesztéssel ekvivalens.

5.10. ábra. Szögharmadolás origamival

Vegyünk most egy négyzet alakú papírlapot, majd az 5.10. ábrán látható módon a bal alsó sarokból hajtsunk egy egyenest. Ennek a lap alsó szélével bezárt szöge lesz a harmadolandó szög. Ezután hajtsuk meg a lap alsó szélével párhuzamos közép-, majd az alsó széléhez közelebb eső negyedelővonalát. A 6. axiómát alkalmazva keressük meg azt a hajtást, mely a lap bal alsó sarkát () a , a lap bal szélének felezőpontját pedig a lap alsó szélével szöget bezáró egyenesre helyezi. Megmutatjuk, hogy a felhajtott részen látható negyedelővonal tartó egyenese a lap alsó szélével éppen szöget zár be.

5.11. ábra. Szögharmadolás origamival; bizonyítás

Az 5.11. ábra jelöléseivel , ahol az pontból a lap alsó szélére állított merőleges talppontja. Továbbá, merőleges -re, így az , és az háromszögek egybevágóak, tehát az és egyenesek az szöget valóban három egyenlő részre osztják.

Most bemutatjuk Peter Messer megoldását arra, hogyan végezhető el a kockakettőzés origamival, vagy pontosabban, hogyan hajtható meg két szakasz, mely hosszainak aránya . Ehhez először megmutatjuk, hogyan osztható egy négyzet valamely oldalával párhuzamos egyenesekkel három egyenlő részre.

5.12. ábra. Papírlap harmadolása

Az 5.13. ábra szerint először hajtsuk meg az átlót, majd az középvonalat, végül az egyenest. Jelölje az így keletkezett háromszög csúcsához tartozó magasságának talppontját , és legyen . Ekkor és – a kiinduló négyzet oldalát 1-nek tekintve – . A és háromszögek hasonlósága miatt , ahonnan , tehát harmadoló pontja az oldalnak. A másik harmadoló pont – mint a szakasz felezőpontja – már könnyedén hajtható.

Most induljunk ki egy olyan négyzetből, mely egyik oldalával párhuzamos egyenesekkel – az ábrán látható módon – három egyenlő területű részre van osztva.

5.13. ábra. Kockakettőzés origamival

Alkalmazzuk azt a – 6. axióma által engedélyezett – hajtást, amely az pontot a , a pontot pedig az egyenesre helyezi. Ekkor az pont a oldalt két részre osztja. Annak a bizonyítását, hogy ezen részek aránya éppen , az olvasóra bízzuk.

Bolyai János szögharmadolása

Bolyai Jánosnak a szögharmadolást egy derékszögű hiperbolaág segítségével sikerült elvégeznie.

5.14. ábra. Bolyai János szögharmadolása

Szerkesszük meg a harmadolandó szöget az ábrán látható módon egy derékszögű koordináta-rendszerben, majd tekintsük az egyenletű hiperbolát. A szög egyik szára ezt a pontban metszi. Rajzoljuk meg azt a középpontú kört, melynek sugara az távolság kétszerese. Ez a hiperbolaágat az szögtartomány egy pontban metszi. Állítjuk, hogy a egyenes tengellyel bezárt szöge éppen harmada. Valóban, jelölje az távolságot és tekintsük a derékszögű háromszöget. Ekkor

és

Mivel és a hiperbola pontjai, így , azaz

Innen átrendezéssel

adódik. Behelyettesítve az derékszögű háromszögből nyert és értékeket, azt kapjuk, hogy

azaz . Mivel hegyesszög, így , vagyis .