Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Szabályos sokszögek szerkeszthetősége

Szabályos sokszögek szerkeszthetősége

A szabályos sokszögek szerkeszthetőségének, vagy más néven a kör egyenlő területű részekre való felosztásának kérdése is hasonló korú, mint az előzőek. Világos, hogy a kör két egyenlő területű részre osztásához elég egy átmérő; ha egy erre merőleges másik átmérőt is megrajzolunk, akkor a kört máris négy egyenlő részre osztottuk. A hat részre osztás is könnyen elvégezhető: a sugárral azonos nyílású körzővel, a körív egy tetszőleges pontjából kiindulva kört rajzolunk, majd az eredeti és berajzolt körök metszéspontjából ezt újra megtesszük. Az eljárás végén kapott metszéspontokat összekötve a középponttal, a kört hat egyenlő területű részre osztottuk. Más szóval, ha a szomszédos metszéspontokat összekötjük, szabályos hatszöget szerkesztettünk. Ha csak minden második metszéspontot kötünk össze, akkor pedig szabályos háromszöget. Könnyen látható, hogy ha a kört annak sugaraival már egyenlő területű részre osztottuk, akkor az ívek megfelezésével a egyenlő részre osztás is megoldható.

Szabályos ötszög szerkesztésének egy módszere

Az alábbiakban Hippaszosz i.e. V. században felfedezett módszerének lényegét mutatjuk be. Tekintsük az szabályos ötszöget.

5.15. ábra. Szabályos ötszög szerkesztése

Az és egyenlő szárú háromszögek a megfelelő szögeik egyenlősége miatt hasonlóak, így , azaz

Világos, hogy ha ismeretében meg tudjuk szerkeszteni a fenti arányt kielégítő távolságot, akkor az oldalú ötszög megszerkeszthető. Az

egyenlőség a Pitagorasz-tétellel összeolvasva mutatja, hogy ha egy derékszögű háromszög befogóinak hossza és , akkor annak átfogója . A befogók hossza ismert, így a háromszög megszerkeszthető, a keresett távolság pedig az átfogó és a rövidebb befogó különbsége.

  V I D E Ó  

Szabályos tizenötszög szerkesztése

Ez a szerkesztés Euklidész Elemek című könyvében (IV. 16. tétel) található. A feladat most az, hogy szerkesszünk adott körbe írt szabályos tizenötszöget.

5.16. ábra. Szabályos tizenötszög szerkesztése

Jelöljünk ki a kör kerületén egy pontot és szerkesszük meg azt a beírt szabályos háromszöget és ötszöget, melyeknek egyik csúcsa . Legyen az ötszög -val szomszédos csúcsa , a háromszög -val szomszédos csúcsa (ugyanabban az irányban) pedig . Ekkor az ív ötöd-, az ív harmadrésze a körvonalnak, a ív a körvonal része. Legyen a ív felezőpontja . A szerkesztendő szabályos 15-szög egy oldalának hossza éppen .

  V I D E Ó  

Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének kritériuma

A szabályos sokszögek szerkesztésének problémáját Gaussnak sikerült megoldania az 1700-as évek végén. Ezzel egyidőben megadta a szabályos 17-szög szerkesztését is. Eredménye amiatt is jelentős, mert abban az algebra, a geometria és a számelmélet fúziója van jelen.

A tétel ismertetése előtt szólunk néhány szót a Fermat-prímekről. Fermat 1654-ben Pascalhoz írt levelében azt állította, hogy a alakú számok minden természetes szám esetén prímszámok. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az esetekben tényleg prímszámot kapunk. Euler azonban 1732-ben megmutatta, hogy az eset összetett számot eredményez:

következésképpen Fermat állítása nem igaz. Olyannyira nem, hogy azóta sem ismerünk további (a fent említettektől különböző) példát ilyen alakú prímre. Nyitott kérdés, hogy egyáltalán van-e még több, illetve ha van, csak véges sok van-e. Ennek ellenére, mint azt Gauss következő tétele is mutatja, a alakú prímek mégis nevezetesek, hívjuk hát őket Fermat-prímeknek.

5.4. Tétel. A szabályos -szög akkor és csak akkor szerkeszthető meg euklideszi értelemben, ha , ahol különböző Fermat-prímek, továbbá és tetszőleges nemnegatív egészek.

Bizonyítás. A szabályos szög szerkeszthetősége ekvivalens a szög, vagy a illetve a valós számok megszerkeszthetőségével. Tekintsük a

komplex -edik egységgyököt. Jól ismert, hogy az a polinom, melynek a gyökei pontosan a primitív -edik egységgyökök (az úgynevezett -edik körosztási polinom), egész együtthatós, a racionális számtest felett irreducibilis (lásd pl. [7] 3.9.9. tétel), és fokú, ahol az Euler-féle függvény. Ha ezen polinom egyik gyökével bővítjük a racionális számtestet, akkor abban a polinom többi gyöke is benne lesz, mivel azok egymás hatványai. Tehát a racionális számtest fokú normális bővítésében van benne, így csak akkor szerkeszthető, ha kettőhatvány. Mint ismeretes, esetén

ami csak úgy lehet kettőnek valamely hatványa, ha a páratlan prímtényezők alakúak. A bizonyítás teljes lesz, ha megmutatjuk, hogy maga is 2-nek hatványa. Ehhez tegyük fel, hogy , ahol páratlan. Ekkor

ami osztható -gyel, így nem lehet prím. □

Tanulmányai során mindenki megtanulta, hogyan szerkeszthető például vagy fokos szög. Ekkor nyilván ezeket felezhetjük, illetve másolással sokszorozhatjuk.

5.5. Következmény. Legyen adott természetes szám. fokos szög pontosan akkor szerkeszthető euklideszi értelemben, ha osztható -mal.

Valóban, , így az előző tétel értelmében szabályos 120-szög és így annak egy oldalához tartozó fokos középponti szöge is szerkeszthető. A szögmásolás elvégezhető euklideszi módón, így az összes olyan szög szerkeszthető, melynek mérőszáma többszöröse. Most tegyük fel, hogy hárommal osztva egy maradékot ad, azaz , és fokos szög szerkeszthető. Ekkor a fokos szög szerkeszthetősége miatt az fokos szög, és így a szabályos -szög is szerkeszthető lenne. Ez viszont miatt ellentmond az előző tételnek. Hasonlóan juthatunk ellentmondásra, ha .