Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Fermat két-négyzetszám tétele

Fermat két-négyzetszám tétele

6.3. Tétel. Egy páratlan prím pontosan akkor írható fel két négyzetszám összegeként, ha .

Ezt a szintén Fermat-tól származó tételt egyes források szerint maga Fermat, mások szerint Leonhard Euler igazolta először az úgynevezett „végtelen leszállás” elvét használva, de azóta is újabb és újabb bizonyítások születnek. Bolyai erre a tételre négy különböző bizonyítást is adott, melynek egyikét most itt bemutatjuk. A kiindulópont az alábbi állítás volt, melyet Bolyai – a bizonyítandó állítással együtt – szintén Gauss „Disquisitiones Arithmeticae” című művéből ismert. Ezt az állítást itt egy alternatív bizonyítással közöljük.

6.4. Lemma. Ha a prím alakú, akkor van olyan egész, melyre .

Bizonyítás. Valóban, legyen például . Ha minden tényezőjét szorozzuk (-1)-gyel, akkor a páros számú szorzás miatt a szorzat nem változik. Továbbá, minden esetén , így

ahol az utolsó kongruenciát a Wilson-tétel garantálja. □

Mint látni fogjuk, Bolyai a tétel bizonyításában a ún. Gauss-egészek aritmetikáját használja. Mára már jól ismert, hogy ez a halmaz euklideszi gyűrű, tehát kiépíthető benne a racionális egészek körében megszokott számelmélet analogonja: itt is beszélhetünk oszthatóságról, maradékos osztásról, legnagyobb közös osztóról, prímekről, stb. Ahogy azt az elnevezés is sugallja, a gyűrűben ezt az elméletet Gauss alapozta meg, de a levéltári adatok alapján úgy tűnik, Bolyai tőle függetlenül, maga is kiépítette azt.

.

A 6.3. tétel bizonyítása. Legyen tetszőleges alakú prím. Ekkor az előző lemma szerint létezik olyan természetes szám, melyre osztója -nek. A Gauss-egészek körében

Világos, hogy egyik tényezőnek sem lehet osztója, ugyanis

nyilván nem Gauss-egész. Tehát nem Gauss-prím. Ekkor viszont felbomlik két -től és -től különböző Gauss-egész szorzatára: . Mindkét oldalt konjugálva kapjuk, hogy , majd a kettőt összeszorozva

adódik, ahonnan és miatt következik.

A fordított állítás triviális, hiszen egy négyzetszám néggyel osztva csak 0 vagy 1 maradékot adhat, így két négyzetszám összegének lehetséges maradékai 0,1 vagy 2. Tehát alakú egész nem lehet két négyzetszám összege. □

Bolyai azt is megmutatta, hogy ez a felbontás sorrendtől eltekintve egyértelmű. Tegyük fel, hogy létezik -nek egy másik, felbontása is. Ekkor

Ekkor az Gauss-egész osztója, így felírható alakban, ahol és rendre az és Gauss-egészek egy-egy osztója. Ekkor miatt

ahonnan prím volta miatt , vagy következik. Az első egyenlőségből kapjuk, hogy vagy egyike , a másik ; a második egyenlőséggel is hasonló a helyzet. Így

Gauss-egészek. Jelölje ezek egyikét , a másik ekkor nyilván , és a kettő szorzata (6.5) miatt . Innen következik, ahol . Tehát a két felbontás legfeljebb a négyzetszámok sorrendjében különbözik.

Végül a teljesség kedvéért kimondjuk a két-négyzetszám tételt tetszőleges pozitív egészre. A bizonyítás megtalálható pl. itt: [3].

6.5. Tétel. Egy pozitív egész szám akkor és csak akkor írható fel két négyzetszám összegeként, ha prímfelbontásában minden alakú prím páros kitevőn szerepel.