Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Elemi analitikus bizonyítás

Elemi analitikus bizonyítás

Az első és legelemibb bizonyításunk Argand 1814-es munkáján alapul.

Az algebra alaptételének bizonyítása. Először belátjuk, hogy felveszi a minimumát egy pontban. Világos, hogy ha , lásd 2. feladat. Így infimuma megegyezik az origó körüli, elég nagy sugarú zárt körlapon vett infimumával. A zárt körlapon a folytonos függvény felveszi a minimumát egy pontban, így az egész -n minimumhelye -nek. Be fogjuk látni, hogy . Indirekt tegyük fel, hogy . Ekkor a

polinomra , és minimum értéke az . Legyen tagjai között legkisebb pozitív kitevője . Ekkor

ahol . Legyen az egyik -adik gyöke -nak, és térjünk át az

polinomra, amire az előzőek szerint

ahol . Az függvény minimum értéke szintén , látni fogjuk azonban, hogy vesz fel -nél kisebb értéket, ami ellentmondás. A háromszög-egyenlőtlenségből minden esetén

Legyen , . Ekkor folytonossága és miatt létezik , melyre . Így , és

ellentmondás. □