Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Algebrai bizonyítás

Algebrai bizonyítás

Most következő bizonyításunk Laplace 1795-ös gondolatmenetét követi. A következő lemma bizonyítása az olvasóra marad, lásd 3. feladat.

7.4. Lemma. Minden -re teljesülnek az alábbiak:

  1. minden -re.

  2. akkor és csak akkor, ha .

  3. Ha , akkor .

Az algebra alaptételének bizonyítása. Először igazolni fogjuk, hogy ha minden nemkonstans valós együtthatós polinomnak van komplex gyöke, akkor minden komplex együtthatós nemkonstans polinomnak is van. Legyen komplex együtthatós nemkonstans polinom, és legyen

A 7.4. lemma 3. pontját felhasználva

ami a 7.4. lemma 2. pontja szerint azt jelenti, hogy valós együtthatós. A feltétel szerint létezik , amire . Ekkor , tehát vagy , vagy . Az első esetben készen vagyunk, a második esetben a 7.4. lemma 1. pontját -re alkalmazva adódik , vagyis ekkor gyöke -nek.

Most belátjuk, hogy minden nemkonstans valós együtthatós polinomnak létezik komplex gyöke. Legyen . Legyen , ahol páratlan, szerinti indukcióval bizonyítunk. Ha , akkor olyan páratlan fokú valós együtthatós polinom, aminek létezik valós gyöke, lásd 4. feladat. Tegyük fel indukcióval, hogy az állítás igaz minden -re, ahol páratlan. Legyen foka . Legyen a felbontási teste felett, melyben a gyökök . Megmutatjuk, hogy legalább az egyik gyök komplex. (Természetesen mindegyik gyök komplex lesz, de nekünk elég egyről belátni.) Legyen rögzített, és vegyük a

polinomot. Igazolni fogjuk, hogy . A polinom együtthatói az gyökök valós együtthatós szimmetrikus polinomjai. A szimmetrikus polinomok alaptétele szerint ekkor az együtthatók kifejezhetők az darab

elemi szimmetrikus polinom valós együtthatós változós polinomjaiként, így elég belátni, hogy az elemi szimmetrikus polinomok valósak. Mivel -k a gyökei, ez következik a polinomra felírt Vieta-formulákból, mely szerint minden -re

Ezzel beláttuk, hogy . A polinom fokszáma

ahol páratlan. Az indukciós feltétel szerint tehát -nek létezik komplex gyöke, azaz léteznek -től függő -k, hogy

Ez azonban minden -re igaz, és mivel csak véges sok pár van, ezért létezik két különböző és , hogy

Így , és így . Ekkor azonban , amiből . Legyen

A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint -nek két komplex gyöke van, azaz . Vagyis és a polinom komplex gyökei. □