Ugrás a tartalomhoz

Matematikatörténet problémákon keresztül

Balka Richárd, Egri-Nagy Attila, Juhász Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

8. fejezet - Hilbert-problémák

8. fejezet - Hilbert-problémák

A II. Nemzetközi Matematikai Kongresszus 1900. augusztus 6-12. között Párizsban ülésezett. David Hilbert augusztus 8-án Matematikai problémák címmel tartott később óriási jelentőségre szert tevő előadást. Ebben felsorolta a matematika szerinte legfontosabb 10 nyitott kérdését, majd ezután publikálta a kibővített 23 problémából álló listát, mely nagy hatást gyakorolt az egész 20. századi matematikára. Ezek közül fogunk itt néhányat bemutatni, és a legegyszerűbb, harmadik probléma bizonyítását közölni.

Nemnegatív polinom mindig négyzetösszeg?

Hilbert 17. problémájának története a 19. század végén kezdődött, amikor Hermann Minkowski a következőt kérdezte:

8.1. Kérdés (Minkowski). Ha az -változós, valós együtthatós polinomra minden esetén, akkor léteznek-e , polinomok, hogy ?

A továbbiakban minden polinomról feltesszük, hogy valós együtthatós. A kérdés más nézőpontból az, hogy ha egy többváltozós polinom nemnegatív, annak van-e mindig tisztán algebrai oka, nevezetesen hogy polinomok négyzetösszege. Hilbert 1888-ban belátta amit Minkowski is sejtett, hogy a válasz nemleges, indirekt bizonyítása azonban nem mutat példát olyan polinomra, amit nem lehet a fenti alakban felírni négyzetösszegként, csupán a létezését igazolja. Explicit konstrukciót ilyen polinomra először T. S. Motzkin adott 1967-ben, az ő bizonyítását fogjuk ismertetni a kérdés körüljárása után.

Hilbert 17. problémája arra kérdez rá, hogy nemnegatív polinomot négyzetösszeggé lehet-e alakítani a következő, gyengébb értelemben.

Hilbert 17. problémája. Ha az -változós, valós együtthatós polinomra minden esetén, akkor igaz-e, hogy , ahol , két -változós polinom hányadosa?

1927-ben Emil Artin adta meg a pozitív választ, a fenti négyzetösszeggé alakítás mindig lehetséges. A bizonyítás a modern algebra mély eszközeit használja, ezért sajnos számunkra nem elérhető. Jegyezzük meg, hogy Artin bizonyítása egzisztencia bizonyítás, nem ad eljárást az -k megkeresésére.

A következőkben Minkowski kérdésére adunk választ.

Egyváltozós polinomok esete, pozitív válasz

Természetesnek tűnik megvizsgálni, hogy mit mondhatunk Minkowski kérdésére, ha , azaz egyváltozós polinomokat tekintünk? Be fogjuk látni, hogy ebben az esetben a kérdésre pozitív válasz adható!

8.2. Tétel. Minden egyváltozós polinom felírható két polinom négyzetösszegeként.

Bizonyítás.

Legyen tehát nemnegatív polinom. Ha nulladfokú, akkor , és így a kívánt négyzetösszeggé alakítás. Ha elsőfokú, akkor vesz fel negatív értéket, ha másodfokú, akkor

Mivel nemnegatív, így és , és így a fentiek szerint a

polinomokkal valóban teljesül

Az általános eset bizonyításához figyeljük meg, hogy a két polinom négyzetösszegeként előálló polinomok halmaza zárt a szorzásra:

ez az úgynevezett Lagrange-azonosság. Legyen foka , és tegyük fel indukcióval, hogy az -nél kisebb fokú polinomokra tudjuk az állítást. Ekkor elég bebizonyítani, hogy kisebb fokú nemnegatív polinomok szorzata, hiszen azok az indukció szerint két polinom négyzetösszegévé alakíthatók, és (8.1) szerint a szorzatuk, azaz szintén.

Először tegyük fel, hogy -nek van egy valós gyöke, melynek multiplicitása . Azaz

Az helyettesítéssel . Az polinom folytonossága és miatt létezik , hogy minden esetén azonos előjelű. Mivel nemnegatív, így is azonos előjelű minden esetén, tehát páros, azaz . Ekkor

ezért nemnegativitása miatt minden esetén . Így a folytonosság miatt minden esetén. A polinom tehát két kisebb fokú nemnegatív polinom szorzata, az első eset készen van.

Most tegyük fel, hogy -nek nincs valós gyöke. Az algebra alaptétele szerint létezik gyöke -nek, és a egyenletet konjugálva kapjuk, hogy . Így is gyöke -nek, és miatt . Legyen

Az polinom gyökei a polinomnak is gyökei, így létezik polinom, melyre . Mivel , és maradékosan osztva a polinomot az polinommal az eredmény ugyanaz és felett, így . Az polinomnak pozitív a főegyütthatója és nincs valós gyöke, így minden esetén. Ekkor , és miatt minden -re, azaz a polinom két alacsonyabb fokú nemnegatív polinom szorzata. □

Kétváltozós ellenpélda

Többváltozós polinomot nem tudunk szorzattá bontani az előző fejezetben látott módon, mivel nincs többváltozós megfelelője az algebra alaptételének, így a bizonyításunk nem működik. Belátjuk, hogy Minkowski kérdésére a válasz már esetén is tagadó.

8.3. Tétel. Létezik nemnegatív kétváltozós polinom, ami nem írható fel polinomok négyzetösszegeként.

Bizonyítás. A bizonyítás során a számtani- és mértani közép közötti egyenlőtlenséget fogjuk használni, ami szerint ha nemnegatív valós számok, akkor

Alkalmazzuk ezt az esetben az , és nemnegatív számokra! Azt kapjuk, hogy

Mindkét oldalt szorozva -tel, majd rendezve, adódik, hogy a

kétváltozós polinom minden esetén nemnegatív. Be fogjuk látni, hogy nem írható fel polinomok négyzetösszegeként. Tegyük fel indirekt, hogy

A polinom foka , így , legfeljebb harmadfokú lehet. Helyettesítsünk (8.3)-ba -t, ekkor

Hasonlóan -t behelyettesítve

azaz és minden -ra és -re. A és polinomok tehát korlátosak, azaz konstansok. Így -ban az tagok együtthatói mind nullák, így minden esetén

Nézzük meg végül (8.3) két oldalán együtthatóját! A polinomban ez az együttható , a polinomokban , így a polinomban . Azaz , ellentmondás. □

Feladatok

  1. (**) Igaz-e, hogy minden komplex polinom előáll két (egyváltozós) komplex polinom négyzetösszegeként? Mi a helyzet a többváltozós esetben?

  2. Legyenek , komplex számok. Mit fejez ekkor ki a (8.1) Lagrange-azonosság?

  3. (*) Keressen több bizonyítást a fejezetben használt (8.2) számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségre!

  4. Minden természetes számot elő tudunk állítani négyzetszámok összegeként, hiszen az előállítás nyilvánvaló. Elő tudunk-e állítani minden természetes számot rögzített számú négyzetszám összegeként? Hány négyzetszámra van szükségünk a legrosszabb esetben? Keresse meg a vonatkozó tételt a jegyzetben!