Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Topológiai invariánsok

Topológiai invariánsok

Ebben a részben görbékkel és felületekkel kapcsolatos tulajdonságokat vizsgálunk majd, ehhez azonban definiálnunk kell, mit is értünk (topológiai értelemben) görbén illetve felületen. A definícióhoz szükségünk van a dimenzió fogalmára. A dimenziót szintén vizsgáltuk már korábban (pl. vektorterekben a bázisok közös számossága volt a dimenzió), a topológiában azonban mérés nélkül kell definiálnunk a dimenziót.

1.5. Definíció. A pont, illetve diszkrét pontok halmaza nulla dimenziós. A tér valamely részhalmazát annak egy pontjában dimenziósnak nevezzük, ha a pontnak bármely környezetében található olyan dimenziós alakzat (részhalmaz) ami a pontot és a -nek a környezetbe nem tartozó pontjait elválasztja, van azonban olyan környezete a pontnak, melyre ez az elválasztás dimenziónál kisebb dimenziós alakzattal nem vihető végbe.

Figyeljük meg, hogy a fenti definíció rekurzív, azaz a dimenziót eggyel alacsonyabb dimenzióval definiálja. Szintén fontos, hogy a dimenziószám pontbeli tulajdonság. Természetesen egy alakzatról mondhatjuk, hogy dimenziós, ha minden pontjában dimenziós. Ezek után a görbe és a felület definíciója már nyilvánvaló.

1.6. Definíció. A topologikus tér korlátos, zárt, összefüggő részhalmazait, illetve véges ilyen részhalmaz unióját görbének nevezzük, ha minden pontjukban egydimenziósak, felületnek nevezzük, ha minden pontjukban kétdimenziósak.

A görbékkel kapcsolatos vizsgálatainknál emlékeztetünk a gráfelméletben tanultakra. Mivel a gráfok definíciója csupán a csúcsok és élek egymás közötti viszonyán alapszik, nyilvánvaló, hogy a görbék topológikus tulajdonságai gráfok megfelelő tulajdonságainak segítségével vizsgálhatók. Két gráf ekvivalenciája és az őket megjelenítő görbék homeomorf volta megegyező fogalmak.

Ezek alapján kimondható a következő tétel.

1.7. Tétel. A homeomorfizmus a görbék következő tulajdonságait invariánsan hagyja:

  • komponensek száma, azaz a görbe hány diszjunkt részből áll

  • pontok indexei, azaz a görbe egy pontjába futó görbeágak száma

  • síkba rajzolhatóság, azaz az a tény, hogy létezik-e a görbével homeomorf görbe, mely síkba rajzolható.

  • a görbe unikurzális volta, azaz az a tény, hogy egy vonallal megrajzolható-e a görbe

  • a síkgörbe által elválaszott, diszjunkt síkrészek száma

Ez utóbbi problémakörben Jordan ismert tétele mondja ki azt a tényt, hogy a körrel homeomorf síkgörbe a síkot két diszjunkt részre osztja.