Topológia és differenciálgeometria
Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
Ebben a fejezetben a topologikus téren, vagy annak egy részhalmazán, pl. egy görbén vagy felületen befutható pályákat vizsgálunk, azaz azt, hogy egyik pontból a másikba milyen folytonos mozgással juthatunk el. Ezen pályák vizsgálatával jutunk el a térhez kapcsolható, központi jelentőségű csoport értelmezéséhez.
2.11. Definíció. Tekintsük a
topologikus tér egy
pontját, valamint az innen induló és ebbe a pontba visszatérő pályákat, azaz olyan
folytonos leképezéseket, melyekre
. Két pályát ekvivalensnek tekintünk, ha folytonos deformációval, azaz homotópiával egymásba vihetők a téren.
A fent definiált pályák halmazán a pályák homotóp volta ekvivalenciareláció, hiszen,
reflexív (a pálya önmagával homotóp), szimmetrikus (ha az 
pálya homotóp
-vel, akkor ez fordítva is igaz), és tranzitív (hiszen a homotópia is tranzitív
fogalom). Így a reláció a pályák halmazán osztályozást indukál, egy osztályba
tartoznak az egymással homotóp pályák. Ezek között az osztályok között műveletet
értelmezhetünk, mégpedig a páyák egymás után való bejárása, konkatenálása által. A
jelölje azt, hogy a 
pontból kiindulva először a 
pályán megyünk végig, majd amikor beérkeztünk a 
pontba, utunkat a 
pályán folytatjuk, végül ismét beérkezve a 
pontba. Így ismét egy pályát
definiáltunk, melyet a két pálya szorzatának nevezünk. Azt a homotópia osztályt,
melybe ez a pálya tartozik, a két előző osztályon végzett művelet eredményének
tekintjük.
2.12. Tétel. Az X topologikus tér
pontjából kiinduló pályák homotópia osztályai a fenti műveletre nézve csoportot alkotnak.
Bizonyítás. Amint láttuk, a halmaz a műveletre nézve zárt. Tekintsük azt az osztályt, melyben az egy pontra folytonosan összehúzható pályák szerepelnek: ez az osztály az egységelem, hiszen bármely más pályaosztállyal megszorozva olyan pályákat kapunk, melyeknek az egy pontra összehúzható része a szorzat másik tényezőjének tulajdonságait nem változtatja meg. Minden elemnek van inverze, ugyanis a pálya ellenkező irányú bejárásával keletkezett pályát az eredetivel konkatenálva nyilvánvalóan egy pontra összehúzható pályát kapunk (szorzatuk az egységelem). Végül tetszőleges három pályára teljesül az asszociatív szabály, hiszen a
pontba újra és újra beérkezve mindegy, hogy a három pálya közül melyiken indulunk másodjára és melyiken harmadjára.
Megjegyezzük, hogy a fenti csoport általában nem kommutatív. Kérdés azonban, hogy ha kiindulási pontnak a tér más pontját tekintjük, homotópia szempontjából más pályákat kapunk-e.
2.13. Tétel. A topologikus tér bármely két
és
pontja által meghatározott pályaosztály csoportok egymással izomorfak.
Bizonyítás. Tekintsük a
-t a
ponttal összekötő
pályát. Minden
-ből induló és oda érkező
pályához rendeljük hozzá azon
-ból induló és oda érkező
pályát, melyre
, ahol
az
pálya ellenkező irányú bejárását (inverzét) jelenti. A fenti hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, valamint izomorfizmus: bármely két
és
pályára nézve
. Tehát a két csoport izomorf.
Így már nincs akadálya hogy a fenti csoportot ne a tér egy-egy pontjához, hanem magához a térhez rendeljük.
2.14. Definíció. A topologikus tér valamely pontja által indukált homotóp pályaosztályok csoportját a tér fundamentális csoportjának nevezzük.
A fundamentális csoportok jelentőségét az adja, hogy nagyon jól írják le a topológiai struktúrát, amit a következő tétel mutat.
fundamentális csoportjaik
izomorfak.
Mindez lehetőséget teremt arra, hogy az alakzatok topológiáját fundamentáis csoportjuk algebrai struktúrájával jellemezzük, ami nyilvánvalóan topológiai invariáns. Így például a körlap és a gömb fundamentális csoportja csupán az egységelemből álló egyelemű csoport, azaz minden pálya egy pontra húzható össze.
2.4. ábra. A körlapon futó pályák mind egy pontba húzhatók össze - a fundamentális csoport egyelemű.
Ha azonban a körlapon egy lyukat vágunk, vagy a gömbnek elhagyjuk akár egyetlen pontját, a csoport már végtelen sok elemből fog állni. A különböző osztályba tartozó pályák abban fognak különbözni, hogy a lyukat hányszor kerülték meg (balró illetve jobbról). Így ez a fundamentális csoport izomorf az egész számok additív csoportjával.
2.5. ábra. A lyukas körlapon futó pályák közül már nem mind húzható össze egy pontba. A lyukat
-szer megkerülő pályák tartoznak egy osztályba,
esetén kapjuk az egy pontba húzható páyákat - a fundamentális csoport egységelemét. A fundamentális csoport izomorf a
csoporttal.
Végül a projektív sík fundamentális csoportja kételemű csoport, a pályák a szerint tartoznak egyik vagy másik csoportba, hogy átmetszik-e a végtelen távoli egyenest.