Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

3. fejezet - A differenciálgeometria alapjai, görbék leírása

3. fejezet - A differenciálgeometria alapjai, görbék leírása

A görbék és felületek egy széles osztályát vizsgáljuk ebben a jegyzetben, főként analitikus eszközök segítségével. Ezzel a megközelítési módszerrel olyan görbéket és felületeket is kezelni tudunk, melyekről az algebra eszközeivel csak keveset mondhattunk. Cserébe viszont - a differenciálás alapvető tulajdonsága miatt - az alakzatokat mindig csak egy pontban, vagy annak kis környezetében tanulmányozhatjuk, eredményeink tehát lokális jellegűek lesznek.

Először is definiálnunk kell azt, hogy milyen típusú görbéket fogunk vizsgálni, azaz leírjuk, hogy differenciálgeometriai szempontból mit tekintünk görbének.

A térben mozgó pont egy görbét ír le. Ha a mozgás minden időpillanatában meghúzzuk az origóból a -ben tartózkodó ponthoz az vektort és ezt -vel jelöljük, akkor egy I véges vagy végtelen intervallumon értelmezett vektorfüggvényhez jutunk (3.1. ábra). Egy vektorfüggvény által létrehozott leképezés általában nem kölcsönösen egyértelmű, mert előfordulhat , kettőspont is, azaz a görbe metszi önmagát. Az ilyen esetek kizárására kölcsönösen egyértelmű vektorfüggvényeket vizsgálunk. Ezen leképzésektől célszerű lesz megkövetelni a mindkét irányú folytonosságot is. Ez azt jelenti, hogy ha az I intervallum egy sorozata konvergál a I-hez, akkor -nek az -hoz kell konvergálnia, és fordítva. Egy ilyen kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos leképezést neveztük topológikusnak.

3.1. ábra. A görbe vektorparaméteres előállítása

3.1. Definíció. Görbén olyan alakzatot értünk, amely előállítható egy I intervallumon értelmezett vektorfüggvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ha a) az által létrehozott leképezés topológikus b) az folytonosan differenciálható c) az differenciálhányados vektora seholsem tűnik el.

Az vektorfüggvény a görbe egy előállítása, de egy görbe olyan vektorfüggvénnyel is előállítható, amely nem felel meg a definícióban felsorolt feltételeknek. Azokat az előállításokat, amelyek teljesítik az a) -c) feltételeket, reguláris előállításoknak nevezzük.

A vektorfüggvényt sokszor adjuk majd meg koordinátafüggvényeivel, azaz alakban. Az differenciálhányadosát is úgy számoljuk, hogy koordintafüggvényeit deriváljuk. A deriváltfüggvényt, mely tehát maga is vektorfüggvény, -vel jelöljük.

Végül hangsúlyozzuk, hogy a "görbe" szót köznapi értelemben sokszor használjuk olyan alakzatra, mely a fenti definíciónak nem tesz eleget, de ahhoz, hogy a differenciálszámítás eszközeit eredményesen alkalmazhassuk, a görbe fogalmát a fenti értelemben le kellett szűkítenünk.

3.2. Példa. Az egy egyenes egyenlete, ahol az egyenes egy adott pontjába mutató helyzetvektor, a az egyenes egy irányvektora. Koordinátafüggvényekkel megadva:

3.3. Példa. Az egy kör egyenlete, ahol a kör középpontjába mutató helyzetvektor, a kör síkját az -ból kiinduló ortonormált bázis feszíti fel, R a kör sugara és . Speciálisan az origó középpontú, sugarú kör egyenlete az , ortonormált bázisban koordinátafüggvényekkel megadva:

3.4. Példa. Az egy hengeres csavarvonal egyenlete, az ortonormált bázisban, pedig az emelkedési konstans. Az , , koordináták felhasználásával:

Egy vektorfüggvény egyértelműen előállít egy görbét, de egy görbe nem határoz meg egyértelműen egy (a feltételeknek megfelelő) vektorfüggvényt. Tekintsünk egy függvényt a megadott intervallumok között. Ha , akkor az pontosan ugyanazt a görbét állítja elő, mint az . Az -ről a segítségével az -ra való áttérést paraméter-transzformációnak nevezzük.

3.5. Példa. A 2) példában meghatározott kör esetén térjünk át a paraméterről a paraméterre a összefüggéssel. Ekkor

3.6. Tétel. Egy paraméter-transzformáció akkor és csak akkor viszi át egy görbe bármely reguláris előállítását újra reguláris előállításba, ha és

A tétel feltételeinek eleget tevő paraméter-transzformációt megengedett paraméter-transzformációnak nevezzük. Ha a görbepontokon növekvő paraméter szerint haladunk végig, akkor ez a görbén egy orientációt határoz meg. A görbének két, és előállítása akkor és csak akkor határoz meg azonos orientációt, ha az -t és -t egymásba átvivő paraméter-transzformáció szigorúan monoton növekedő. Ha a paraméter-transzformáció szigorúan monoton csökkenő, akkor ellenkező orientációt kapunk.

Ha egy görbe minden pontja egy síkban fekszik, akkor síkgörbének, ellenkező esetben térgörbének nevezzük.

Görbék különböző megadási módjai

Az előző részben megismertük a görbék paraméteres leírási módját. Görbét azonban nem csak paraméteresen írhatunk le. Az általános és középiskolában elsősorban másik két leírási móddal találkozunk: az implicit és explicit megadással. A síkgörbéket a következő formákban adhatjuk meg:

  1. Explicit megadási mód.Tekintsünk -ban egy Descartes-féle koordinátarendszert és a kétváltozós függvényt. Azok a pontok, melyeknek a koordinátája, egy görbét alkotnak. Ezt az alakot Euler-Monge féle megadási módnak is nevezzük.

  2. Implicit megadási mód.Ismét a Descartes-féle koordinátarendszert tekintjük és az kétváltozós függvényt. Azon pontok mértani helye, melyek koordinátáit a függvénybe helyettesítve a kapott függvényérték , egy görbét alkotnak. Megjegyezzük, hogy az egyenletet kielégítő pontok is egy-egy görbére illeszkednek bármilyen konstans értékre. A görbe ilyen megadási módját Cauchy vezette be.

  3. Paraméteres megadási mód.Ez tulajdonképpen a differenciálgeometriai értelemben vett görbe definíciójában is szereplő előállítási mód, amely két (vagy térgörbék esetén három) valós változós függvény megadásával egyenértékű, amelyeket koordinátafüggvényeknek nevezünk:

    Ezt az előállítást Gauss-féle előállításnak is szokás nevezni.

Ezek az előállítási módok minden esetben előnyökkel és hátrányokkal is járnak. A globális explicit alak nem mindig létezik, gondoljunk például az egyenes alakjára, ahol az meredekség tengellyel párhuzamos egyenesekre nem értelmezhető. Az első két megadási mód közvetlenül nem alkalmas térgörbék előállítására, hiszen újabb változót bevezetve felületeket kapnánk. Ilyen értelemben a paraméteres megadási mód a legáltalánosabb.

Az egyes alakok közötti áttérés nem egyforma nehézségű feladatokat takar. Míg például az explicit alakról a az implicit alakra az egyszerű átrendezéssel jutunk, addig az implicit alak parametrizációja például komolyabb matematikai meggondolásokat igényel. Az áttérés elméleti lehetőségeire a felületek leírása során visszatérünk, itt most csak egy példát mutatunk be polinomokkal leírt görbék esetére.