Topológia és differenciálgeometria
Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
Tartalom
Legyen adott két görbe, 
és 
, melyek egy 
pontban találkoznak. A hagyományos folytonossági fogalomnak megfelelően azt mondjuk, hogy ez a
találkozás n-edrendben folytonos, vagy más jelöléssel 
-folytonos, ha ebben a pontban a a
két görbe deriváltjai n-edrendben megegyeznek, azaz
teljesül.
Ennek segítségével definiálhatjuk felületek, illetve felület és görbe folytonos érintkezését is.
Két felület egy pontban 
-edrendben folytonosan (
-folytonosan) érintkezik, ha a
pontban a felületek megfelelő parciális deriváltjai 
-edrendig megegyeznek. A felület és görbe
érintkezése 
-folytonos, ha a felületen létezik olyan felületi görbe, mely az eredeti görbével
az adott pontban 
-edrendben folytonosan érintkezik.
Két görbe illetve két felület érintkezésének folytonosságát tehát mechanikus számolással ellenőrizhetjük, görbe és felület érintkezésével kapcsolatban azonban ez nem igaz, hiszen találnunk kellene a felületen egy megfelelő görbét az érintkezés foyltonosságának igazolásához. Ebben segíthet a következő tétel.
4.1. Tétel. Legyen adott az
felület, mely minden változójában
-szer differenciálható és ezek egyszerre sehol sem tűnnek el. Ekkor az
,
,
görbe az
felületet annak egy pontjában n-edrendben érinti akkor és csakis akkor, ha létezik olyan
paraméter, melyre az
függvény deriváltjaira teljesül, hogy
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy létezik olyan
felületi görbe, amelyik az eredeti görbét az adott pontban
-edrendben érinti. Ekkor
valamint a két görbe deriváltjai is megegyeznek, amiből az
miatt
Hasonlóan igazolható az állítás magasabb deriváltakra is.
Ha feltesszük, hogy
teljesül, akkor olyan felületi görbét kell találnunk, melyre a tétel állítása igaz. Amiatt, hogy a felület parciális deriváltjai léteznek és egyszerre nem nullák, az adott pont környezetében a felület explicit alakra hozható, pl.
alakra. Vetítsük le ekkor az
görbét a felületre a
tengellyel párhuzamosan. Az így kapott
görbe koordináta-függvényei
és belátható, hogy ez a görbe az eredeti görbét
-edrendben folytonosan érinti.
