Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
Legyen egy görbe,
ennek
egy íve, amely az I egy
szakaszának a képe. Legyen
ennek egy beosztása. Az ezen paraméterértékekhez tartozó
görbepontoknak
ilyen sorrendben való összekötésével egy, a görbébe írt töröttvonalat kapunk, melyet normális
töröttvonalnak nevezünk.
4.5. Definíció. A görbe egy ívének hosszán (ívhosszán) a görbeívbe írt normális töröttvonalak hosszai halmazának pontos felső korlátját értjük.
Az előző tételben szereplő integrál integrandusa nem más, mint
Így
Ahogy azt láttuk, egy görbének végtelen sok előállítása lehetséges. A görbére kimondott
állításainknak azonban olyanoknak kell lenniük, hogy csak a görbére és ne egy általunk
választott előállítására (azaz paraméterezésére) vonatkozzanak. A görbe előállításában
olyan paramétert kellene használnunk, amely a görbe által egyértelműen meghatározott, ezáltal
maga a paraméter is valamilyen geometriai tartalmat hordoz. Ilyen paraméternek természetesen az
ívhossz kínálkozik. Ennél a paraméterezésnél a görbe tetszőleges pontjának
paramétere az irányított görbe egy rögzített
pontjától a
-ig mért előjeles
ívhossz lesz. Megmutatható, hogy tetszőleges reguláris előállításból kiindulva mindig
létezik megengedett paraméter-transzformáció, melynek eredményeképpen a görbe már
ívhosszra lesz vonatkoztatva, azaz az ívhossz mindig bevezethető paraméternek. Az
görbe ívhosszának képletében a felső határt hagyjuk
változónak, így az ívhosszat a rögzített
ponttól a
pontig mérjük. Az
ívhossz a
függvénye:
Az szigorúan monoton növekvő, mivel pozitív függvény integrálja, és folytonosan
differenciálható, mert az integrandus folytonos. Így létezik az
-nek a
inverz függvénye, amely szintén szigorúan monoton és folytonosan
differenciálható. Így a
megengedett paraméter-transzformáció. Az ívhossz egy
additív konstans erejéig van meghatározva, amely a
paraméterű
pont
tetszőleges megválasztását jelenti. Az, hogy a paraméter az ívhossz, egyenértékű azzal, hogy
az érintővektor hossza 1.
Egy görbének a különböző parametrizációit úgy képzelhetjük el, mint egy rögzített
pályán végzett különböző mozgásokat. Ha a paraméter az ívhossz, akkor ez egységnyi
sebességgel végzett mozgást jelent. Tehát a megtett út az eltelt idővel egyenesen arányos. Az
ívhosszparaméter esetén a deriváltat -vel jelöljük.
4.7. Példa. Az
hengeres csavarvonalat vonatkoztassuk ívhosszparaméterre! Deriválással
, amely felhasználásával az ívhossz:
ahonnan
. Ezt az eredeti egyenletbe beírva
Ezzel az ívhosszat bevezettük paraméternek.Az érintővektor:
Az érintővektor hossza: