Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

5. fejezet - Görbék görbülete és a torziója

5. fejezet - Görbék görbülete és a torziója

Ebben a fejezetben a paraméteres görbék két alapvető jellemzőjét definiáljuk és vizsgáljuk. A görbület a görbének az egyenestől való eltérését, a torzió pedig a görbe síktól való eltérését méri, azaz a kettő együtt a görbe térbeli futását jellemzi. E két függvény egyértelmű jellemzését adja a görbéknek.

A görbület

A görbe jellemezhető aszerint, hogy mennyire görbül, azaz mennyire tér el az egyenestől. Az egyenes érintői párhuzamosak egymással, így az előbbi tulajdonságot az érintő irányváltozása, illetve az irányváltozás nagysága jól jellemzi. Legyen az ívhosszparaméterre vonatkoztatott, kétszeresen folytonosan differenciálható görbe. Legyen a pontban az érintővektor , a pontban pedig . Bevezetjük a következő jelöléseket: és (lásd 5.1. ábra).

5.1. ábra. A görbület értelmezése

5.1. Definíció. A

határértéket a görbe -beli görbületének nevezzük.

5.2. Tétel. A definícióban szereplő határérték létezik, értéke:

Bizonyítás. Ismert, hogy a szögnek és szinuszának hányadosa a szöget csökkentve 1-hez tart, azaz , amiből következik, hogy a keresett határértékre . De a szög szinuszát felírhatjuk az érintő egységvektorok vektoriális szorzata segítségével, hiszen . Így

Kihasználva, hogy a vektoriális szorzás tagonként elvégezhető, valamint bármely vektor önmagával vett vektoriális szorzata nullvektor, azt kapjuk, hogy

Az általános paraméterezésű görbe görbület képletének bizonyításánál tegyük fel, hogy az görbét a paraméter-transzformációval tudjuk átvinni ívhossz szerinti paraméterezésbe. Ekkor a deriválás szabályai szerint

másrészt

Felhasználva, hogy a és vektorok merőlegesek, valamint ,

írható. Másrészt a paraméter-transzformáció deriváltja

így végül

amiből helyettesítéssel megkapjuk a

képletet.

Rámutatunk egy fontos kapcsolatra az , és között. Definíció szerint , így vagy másként felírva . Ez utóbbi alak a Frenet-képletek egyike, melyekről később lesz szó.

Látható, hogy bármely egyenes görbülete azonosan zérus, és fordítva: ha egy görbe görbülete azonosan eltűnik, akkor az csak egyenes lehet. Könnyen kiszámítható, hogy az sugarú kör görbülete , és igazolható, hogy minden el nem tűnő konstans görbületű síkgörbe kör. Ahogy azt el is várjuk a görbefogalomtól, egy kör annál jobban görbült, minél kisebb a sugara. Végül megjegyezzük, hogy a görbületnek előjelet is tulajdoníthatunk, ha a definícióban szereplő szöget előjelesen mérjük.

Szokás a görbületet a teljes görbén is megmérni, azaz az görbéhez tartozó görbületfüggvényt a görbe mentén kiintegrálni.

5.3. Definíció. Az görbe teljes görbületén az görbementi integrál értéket értjük.

A teljes görbületnek érdekes kapcsolata van a görbe topológiájával. Ehhez vizsgáljuk meg a síkgörbék Gauss-féle érintőleképezését. Az síkgörbe érintővektorainak tekintsük az origóból kiinduló reprezentánsait. Ezek végpontjait rendeljük hozzá a görbe megfelelő pontjához. Mivel az ívhossz szerinti paraméterezés miatt az érintővektor egységnyi hosszú, az így kapott leképezés az egységnyi sugarú, origó középpontú körön rendel pontokat a görbéhez. A leképezés folytonos, az így kapott kép egyértelmű, azonban nem kölcsönösen egyértelmű, hiszen a görbe több pontjában is lehet azonos az érintővektor, amihez így a leképezés ugyanazt a pontot rendeli.

Zárt síkgörbék esetén ez a Gauss-féle leképezés a kört végigjárja, esetleg többször is. Azt a számot, ahányszor a leképezés során az egységkört egy adott irányban körüljárjuk, a görbe körüljárási számának nevezzük. Jelöljük ezt -rel. Ekkor belátható a következő tétel.

5.4. Tétel. A zárt síkgörbe teljes görbülete egyenlő a valamely konstansszorosával, ahol a konstans éppen a görbe körüljárási száma, azaz

Bizonyítás. Értelmezzük a görbét a [0,a] intervallumon, ahol . Legyen továbbá az érintőleképezésben az egységkör középponti szöge az tengelytől mérve (azaz az érintővektor origóból induló reprezentánsának és az tengelynek a szöge). Így

azaz koordinátafüggvényei: . Az érintőt az összetett függvények szabálya szerint deriválva , amiből

következik. Összevetve ezt a Frenet-képlettel, miszerint , láthatjuk, hogy éppen a görbületfüggvény, amiből integrálással kapjuk a következő (integrál, mint felső határ) függvényt

Mivel esetünkben a görbe zárt, azaz a paraméterezésben a kezdő- és végpontja egybeesik, a függvény a végpontban a szögnek egész számú többszörösét veszi föl. Ez a szám pedig nem lehet más, mint a körüljárási szám, azaz

és éppen ezt akartuk bizonyítani.

A Gauss-féle érintőleképezés arra is alkalmas, hogy a görbe pontjainak viselkedését tanulmányozzuk. Az algebrai görbék és felületek általában minden pontjukban egyformán viselkednek, néhány pontjukban azonban a környezetükhöz képest megváltozhat a viselkedésük. A ”közönséges” pontokat reguláris pontoknak, a ”különleges” pontokat szinguláris pontoknak nevezzük. Ilyen szinguláris pontok lehetnek a csúcspontok, izolált pontok, kettős és többszörös pontok. A szinguláris pontok megtalálása, illetve kezelése nem könnyű feladat, sokszor csak közelítő módszerekkel lehetséges. Síkgörbék esetén a Gauss-féle leképezés és az érintő görbementi viselkedése nyújthat segítséget, a következők szerint. Ha a görbe érintője és az ennek megfelelő Gauss-féle kép is egy irányban, folytonosan változik, akkor reguláris pontban vagyunk. Ha az érintőkép megfordul, akkor inflexiós pontba értünk. Ha az érintőnek magának az iránya fordul meg, akkor csúcsponthoz értünk, mégpedig a csúcs elsőfajú, ha a Gauss-féle leképezés iránya nem fordul meg a pontban, másodfajú csúcs pedig akkor, ha a Gauss-féle leképezés körüljárási iránya is megfordul. Ezekre láthatunk példákat a 5.2. ábrán.

5.2. ábra. Különböző típusú görbepontok, balról jobbra: reguláris, inflexiós pont, elsőfajú csúcs, másodfajú csúcs

Hasonlóan az előbbi leképezéshez Gauss egy olyan leképezést is bevezetett, melyben a görbe pontjaihoz az egységkörnek azt a pontját rendelte, melyet a görbe adott pontbeli főnormálisának origóból induló reprezentánsa jelöl ki (itt tehát az érintő egységvektor helyett a görbére merőleges egységvektor viselkedését vizsgáljuk). Gyakorlatilag a két leképezés csupán egy origó körüli -os forgatásban különbözik egymástól, ahogyan az érintő egységvektor és a főnormális kapcsolata is ugyanez. Hogy mégis bevezetjük ezt a leképezést, annak az az oka, hogy felületek esetére ez a leképezés általánosítható, hiszen a felületek pontjában már nincs egyértelmű érintővektor, viszont a normális továbbra is egyértelmű lesz.

Ezzel a leképezéssel a görbe görbületét is vizsgálhatjuk, mégpedig a következő módon. Mivel a görbület az érintő egységvektor szögelfordulását méri egységnyi úton, ugyanezt a főnormális szögelfordulásával is mérhetjük. Belátható, hogy adott pont körüli kis íven vizsgálva a görbét, a görbeívnek és a Gauss-féle leképezésben a neki megfelelő körívnek a hányadosával (illetve ennek határértékével) szintén mérhető a görbület.

5.5. Tétel. Legyen az görbe pontja és a pontja közötti ív olyan, hogy Gauss-féle leképezés a körön ehhez egy egyszerű ívet határoz meg. Az két pont közötti görbeív ívhossza tehát , míg a hozzá rendelt körív hossza legyen . Ekkor

Bizonyítás. Az egységkörön keletkezett ív hosszát, mint bármely görbe ívhosszát kiszámolhatjuk úgy, hogy az őt létrehozó vektor deriváltjának hosszát integráljuk a két paraméterérték között, azaz

Így a kérdéses határértékre a Frenet-képlet felhasználásával azt kapjuk, hogy