Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

7. fejezet - Speciális görbék I.

7. fejezet - Speciális görbék I.

Ebben a két fejezetben olyan görbéket vizsgálunk, melyek valamilyen - többnyire gyakorlati szempontból fontos - speciális tulajdonsággal rendelkeznek. Amint a 5.4. fejezet végén láttuk, a görbület és a torzió függvénye nagyon erősen meghatározza a görbét. Így ezen függvényekre adott megszorításokkal különleges görbeosztályokat definiálhatunk.

Görbesereg burkolója

Ha az görbét egy, a görbe paraméterétől független paramétertől is függővé teszünk, akkor ezzel egyparaméteres görbesereget adtunk meg, melyet formával jelölünk, ahol a neve futó paraméter, míg a -t seregparaméternek nevezzük. Ilyen görbesereg keletkezik például akkor, ha egy görbét egy rögzített pontjánál fogva egy másik görbe mentén mozgatunk, vagy ha a görbe valamely definiáló adatát, pl. a kör sugarát változtatjuk.

7.1. Példa. Legyen adott egy origó középpontú, sugarú kör:

Egyparaméteres görbesereget kapunk, ha ezen kör középpontját az tengely mentén mozgatjuk egyenletesen. Ezen görbesereg egyenlete:

Akkor is egyparaméteres körsereget kapunk, ha a kiindulási kör sugarát változtatjuk, például egy paraméter négyzetes függvényeként:

A két változást összeköthetjük, a középpont az tengely mentén egyenletesen mozog, miközben ennek négyzetes függvényeként változik a sugár:

Ennek a körseregnek néhány elemét láthatjuk a 7.1. ábrán.

7.1. ábra. Egyparaméteres körsereg

Egyparaméteres görbeseregekhez kereshetünk olyan görbéket, melyek a sereg minden tagját érintik egy-egy pontban. Ezeket a görbéket a sereg burkolójának nevezzük. Könnyebb a burkolót kiszámítani, ha az eredeti görbe implicit módon, alakban adott. Ekkor a görbesereg egyenlete lesz, ahol a seregparaméter. A burkoló értelmezéséből nyilvánvaló, hogy ha a burkolót alakban keressük, akkor teljesülnie kell az

azonosságoknak. Azokat a görbéket, melyek a fenti két feltételt teljesítik, a görbesereg diszkrimináns görbéjének nevezzük. A diszkrimináns görbe még nem feltétlenül burkoló, ahhoz az is kell, hogy a diszkrimináns görbe deriváltvektora sehol se tűnjön el. Összefoglalva tehát kimondhatjuk a következő tételt.

7.2. Tétel. Ha adott az görbesereg, akkor az görbe ennek burkolója, ha , , valamint .