8.3. Definíció. Adott az görbe, melynek görbületfüggvénye és torziófüggvénye sehol sem tűnik el. A görbét Bertrand görbének nevezzük, ha létezik olyan görbe, hogy az és görbék normálisai valamennyi paraméternél megegyeznek. A görbét az eredeti görbe Bertrand társának is nevezzük.

8.4. Tétel. Bármely görbe Bertrand társát felírhatjuk

alakban, ahol az eredeti görbe főnormálisa, pedig valós konstans.

Bizonyítás. Parametrizáljuk ugyanis a görbét ívhossz szerint: és tegyük föl, hogy létezik Bertrand társa: . Ekkor tehát az első görbe pontbeli kísérő triéderének és a második görbén ennek megfelelő pontbeli kísérő triédernek a főnormálisa azonos egyenesre illeszkedik. A két pont távolsága legyen , melyről szeretnénk belátni, hogy konstans. A második görbe paraméterezése nem feltétlenül ívhossz szerinti, de nyilván függ -től. Így a második görbe felírható

alakban. A baloldal szerinti deriváltja

Az egyenlet jobb oldalát szerint deriválva

A Frenet-képletek felhasználásával ebből

Ezt az egyenletet az vektorral skalárisan szorozva kapjuk, hogy

de a feltétel miatt , azaz a baloldal nulla, a jobbldalon pedig , miatt egyedül az utolsó tag nem tűnik el. Itt , tehát végül , azaz a konstans.

8.5. Tétel. Az görbe Bertrand görbe akkor és csakis akkor, ha

teljesül valamilyen konstansokra.

Bizonyítás. A két görbén az egymásnak megfelelő pontokban a kísérő triéderek relatív elfordulását akarjuk felírni. Tegyük föl, hogy a görbén lévő pontbeli érintő egységvektor és a neki megfelelő, görbén lévő pontbeli érintő egység vektor szöge . Erről is szeretnénk belátni, hogy konstans, azaz nem függ az paramétertől. Ekkor tehát

Ezt szerint deriválva, majd a Frenet-képleteket alkalmazva a baloldal

alakú lesz, a jobboldal pedig

alakú. De tudjuk, hogy minden pontban, így az egyenletet előbb a vektorral, majd a vektorral skalárisan szorozva azt kapjuk, hogy és . Ebből viszont

miatt , azaz az konstans állandó. Ezzel és az előző bizonyításban levezetett egyenlettel tehát a és konstansokra

teljesül. Ez a két egyenlet csak akkor nem ellentmondó, ha

amiből már helyettesítéssel következik, hogy és ezt akartuk bizonyítani.

8.6. Definíció. Adott az görbe, melynek görbületfüggvénye és torziófüggvénye sehol sem tűnik el. A görbét Mannheim görbének nevezzük, ha létezik olyan görbe, hogy az görbe főnormális egyenese minden paraméternél megegyezik a görbe binormális egyenesével. A görbét az eredeti görbe Mannheim társának is nevezzük.

8.7. Tétel. Ha az görbének létezik Mannheim társa, akkor felírhatjuk

alakban, ahol a Mannheim társgörbe binormálisa, pedig valós konstans.

8.8. Tétel. Az görbe Mannheim görbe akkor és csakis akkor, ha

teljesül valamilyen konstansokra.