Az előző részhez hasonlóan itt is azzal kezdjük a tárgyalást, hogy pontosan meghatározzuk, differenciálgeometriai értelemben mit értünk felületen. Ez a definíció a görbékhez hasonlóan itt is a hétköznapi "felület" fogalom bizonyos leszűkítését jelenti, de így is magában foglalja a geometriai modellezésben használatos összes felülettípust.

Az vektorfüggvény az elemi felület egyfajta előállítása, de egy elemi felület olyan vektorfüggvénnyel is előállítható, amely nem felel meg a definícióban felsorolt feltételeknek. Azok az előállításokat, amelyek teljesítik az a) -c) feltételeket reguláris előállításoknak nevezzük. Az vektorfüggvény parciális deriváltjait az egyváltozós esethez hasonlóan úgy képezzük, hogy a koordinátafüggvényeket deriváljuk parciálisan.

A definícióban szereplő topológikus leképezés legegyszerűbb módon egy merőleges vetítéssel állítható elő. A paramétersíkon így keletkezett T tartománynak egy kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos leképezését tekintve egy T tartományra, a T és a felület közötti kapcsolat leírása már bonyolultabb.

Az elemi felületek köre elég szűk. Pl. már a gömb sem fér bele, mert a gömb nem képezhető le topológikusan a sík egyetlen tartományára sem. Hasonló a helyzet a hengerrel vagy a tórusszal. Ezek azonban előállíthatók elemi felületek egyesítése képpen. Ha két elég nagy gömbsüveget veszünk elemi felületnek, melyek közül az egyik felülröl az egyenlítő alá, a másik alulról az egyenlítő fölé nyúlik, úgy minden pont legalább az egyiknek, sőt az egyenlítő környéki pontok mindkettőnek pontjai. Így gömb e két elemi felület egyesítéseként fogható fel. Hasonló a helyzet a hengernél és a tórusznál. Ezen meggondolást követve felületen olyan összefüggő alakzatot fogunk érteni, mely végessok elemi felület egyesítéseként előáll, és bármely pontjának megfelelően kicsiny térbeli környezete az alakzatból elemi felületet metsz ki. Egy alakzat összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető csupa alakzatpontból álló folytonos görbeívvel.

A felület határán a felülethez nem tartozó határpontok összességét értjük. A határpont olyan pont, amely bármely környezete tartalmaz felületi és nem felületi pontot. Ha a felület határnélküli és véges, akkor zártnak nevezzük. Ilyen pl. a gömb és a tórusz. Ha a felület határolt (azaz vannak határpontjai) vagy végtelen, akkor nyíltnak nevezzük. Ilyen pl. a félgömb, henger, sík.

Elemi felületek különböző megadási módjai

1. Explicit megadási mód.Tekintsünk -ban egy Descartes-féle koordinátarendszert és a kétváltozós függvényt! Azok a pontok, melyeknek a koordinátája egy felületet alkotnak. Ezt Euler-Monge féle megadási módnak is nevezzük.

2. Implicit megadási mód.Ismét egy Descartes-féle koordinátarendszert tekintünk és egy háromváltozós függvényt. Azon pontok mértani helye, melyek koordinátáit a függvénybe helyettesítve a kapott függvényérték konstans (pl. zérussal egyenlő), egy nívófelületet alkotnak. Ennek analítikus megadása: .

3. Vektorparaméteres megadási mód.Ez tulajdonképpen az elemi felület definíciójában is szereplő előállítási mód, amely három kétváltozós függvény megadásával egyenértékű, amelyeket koordinátafüggvényeknek nevezünk.

   

   Ezt az előállítást Gauss-féle előállításnak is szokás nevezni.

A különböző előállítások között lehetőség van az áttérésre.

1)2)

esetén a -ből az implicit előállítás lehetséges.

2)1)

esetén a következő tétel jelenti a kapcsolatot: tegyük fel, hogy teljesül az egy pontban, az és értelmezve van az valamely környezetében, valamint . Ezen feltételek mellett az pont egy elegendően kicsiny környezetében létezik egy és csak egy folytonos függvény, amely kielégíti az egyenletet és amelyre fennáll, hogy .

3)1)

esetén megmutatjuk, hogy a felület bármely pontjának van olyan környezete, hogy a felület előállítható , ill. formák valamelyikében. A definíció c) feltétele alapján a és vektorok nem párhuzamosak, ezzel ekvivalens, hogy

A mátrix rangjának megfelelően a pontban az előbbi mátixnak van el nem tűnő másodrendű aldeterminánsa. Például legyen ez

A parciálisok folytonossága miatt a egy egész környzetében el nem tűnő. Így a -t egy -re leképező

függvényrendszernek -ben létezik az

inverz függvényrendszere. Ezeket az függvénybe helyettesítve

ahol a jobboldal csak és függvénye, melyet -vel jelölve az függvény pontosan azokat a pontokat állítja elő felett, mint a felett.

A felület Gauss-féle előállítása is többféleképpen lehetséges, azaz egy ilyen előállítás egyértelműen meghatároz egy felületet, de egy felület nem határoz meg egyértelműen egy előállítást. Legyen egy felület a tartomány felett és tekintsünk egy -n értelmezett

folytonosan differenciálható függvénypárt, amely kölcsönösen egyértelmű leképezést hoz létre a és a tartományok között és ahol a

a tartományon. Ekkor az előbbi függvénypárnak létezik az

inverz függvényrendszere, amely szintén folytonosan differenciálható. Ezt az -be helyettesítve az ugyanazokat a pontokat állítja elő, mint az . A paraméterek ilyen változtatását megengedett paraméter-transzformációnak nevezzük.

9.2. Példa. A ponton áthaladó, az és nem párhuzamos vektorpár által felfeszített sík előállítása a helyzetvektorok közötti kapcsolat alapján

9.3. Példa. Az R sugarú, origó középpontú gömb implicit megadása:

Ugyanezt a gömböt explicit formában két egyenlet írja le:

ahol az első az sík fölötti, a második az sík alatti félgömböt adja meg.A paraméteres megadásnál kiválasztunk egy általános helyzetű pontot és helyzetvektorok végpontjaiként generáljuk a felületet. A pontot levetítjük az síkra, Így kapjuk a pontot. Az paramétert az tengely és az vektor szöge, míg az paramétert a tengely és az vektor szöge adja. Ezek alapján a koordinátafüggvények a következők:

A Gauss-féle alak:

Ha és , akkor a teljes gömböt leírja a fenti alak, ha például és , akkor a pozitív féltengelyek által meghatározott térrészbe eső gömbnyolcadot kapjuk.

9.4. Példa. Egy hiperbolikus paraboloid Gauss-féle előállításában a koordinátafüggvények a következők:

Így és az paraméterek a teljes paramétersíkról választhatók.