Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Dupin-indikátrix, a második alapmennyiségek

Dupin-indikátrix, a második alapmennyiségek

Legyen egy felület, ennek egy pontja. Fejtsük Taylor-sorba az -t a egy környezetében a másodfokúnál magasabb tagok elhagyásával. Így az -t másodrendben közelítő felületet kapunk:

A két felületnek megegyezik az paraméterértékű pontja, valamint azonosak ebben a pontban a paramétervonalérintők, az érintősíkok és a normálegységvektorok is. Az felületnek a -beli érintősíktól mért előjeles távolsága az és az belső szorzata:

A

belső szorzatokat a felület második alapmennyiségeinek nevezzük.

Ha a -ba helyezzük át az origót és a koordinátatengelyek egységvektorai a , és az vektorok lesznek, akkor ebben a speciális koordinátarendszerben a felület egyenlete

azaz egy másodrendű felület, paraboloid. Ezért a felületet oszkuláló paraboloidnak (azaz másodrendben érintő felületnek) nevezzük. Az oszkuláló paraboloid a pont környezetében nagyon jól közelíti az eredeti felületet, így egyenletéből látható, hogy a második alapmennyiségek a felületnek a térben felvett formájával kapcsolatosak. Az oszkuláló paraboloidot a -beli érintősík mindkét oldalán kis távolságra az érintősíkkal párhuzamos síkkal elmetszük és a két metszetgörbét az érintősíkra vetítjük, akkor a felület -beli Dupin-féle indikátrixát kapjuk.

A felület egy pontját elliptikusnak, hiperbolikusnak illetve parabolikusnak nevezzük, ha az ottani Dupin-féle indikátrixa egy valós és egy képzetes ellipszisből, vagy egy konjugált hiperbolapárból illetve egy valós és egy képzetes párhuzamos egyenespárból áll. Maga az oszkuláló paraboloid különböző alakzat a különböző típusú pontok esetén: elliptikus pontban elliptikus paraboloid, parabolikus pontban parabolikus henger, hiperbolikus pontban hiperbolikus paraboloid.

A fentiekből is következik, hogy ha a pont elliptikus, akkor a elég kis környezetében a felületi pontok a -beli érintősík egyik oldalára esnek. Ha a pont hiperbolikus, akkor a -hoz akármilyen közel is vannak a -beli érintősík egyik és másik oldalán levő pontok. Ha a pont parabolikus, akkor a -hoz elég közel levő pontok a -beli érintősíkra vagy az egyik oldalra esnek (lásd 11.1. ábra).