Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
A normálgörbület rögzített pont esetén is függ az érintőiránytól. Ez
lehetőséget ad az érintő iránya szerinti szélsőérték keresésére, azaz egy adott pontban az
érintőt körbeforgatva keressük a minimális és maximális görbületet. Tekintsük
-t
az
síknak az origót körülvevő zárt körgyűrűjén. A
az
-nek racionális
törtfüggvénye, így az origón átmenő bármely egyenes mentén konstans, az említett
körgyűrűn a teljes értékkészletét felveszi. A szélsőérték keresése egy másodfokú
egyenlethez vezet, mely
alakban írható föl. A determinást kifejtve egy másodfokú egyenletet kapunk -re.
Az így kapott
értékeket főnormálgörbületeknek,
főnormálgörbületekhez tartozó irányokat főirányoknak nevezzük.
A szélsőértékeket egy másodfokú egyenlet
megoldásaként kaptuk, ezáltal a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján képezhető
a
szorzatgörbület, melyet Gauss-görbületnek, és a
összeggörbület, melyet Minkowski-görbületnek nevezünk.
Abban az esetben, ha a maximuma és minimuma egybeesik, azaz
, akkor
egy iránytól független
konstans és minden irány szélsőértékirány. A gömbnek minden pontja ilyen tulajdonságú, mert
egy
sugarú gömb minden normálmetszete egy főkör, melynek a görbületi sugara
. Az ilyen pontokat, ahol
, gömbi
pontoknak nevezzük. Az olyan pontokat, ahol
síkpontoknak nevezzük. A sík minden pontja ilyen tulajdonságú. Végül lehetséges, hogy
, azaz ellentétes előjelűek, de egyező
abszolútértékűek a főnormálgörbületek. Ekkor minimálpontról beszélünk. A minimálfelületek
minden pontja minimálpont.
A Gauss-görbület a definíció alapján kiszámítható
alakban, azaz a második és az első alapmennyiségek mátrixainak determinánsa segítségével.
Maga a
görbület jól jellemzi a felület görbültségi viszonyait egy pont megfelelő
környezetében.
11.8. Tétel. Egy felületi pont elliptikus, parabolikus ill. hiperbolikus akkor és csak akkor, ha a pontbeli Gauss-görbülete pozitív, nulla ill. negatív.
Legyen a tekintett felületi pont egy tetszőleges irányhoz tartozó
normálgörbülete,
a két főnormálgörbület
és
a
és
irányok által bezárt
szög.
A normálgörbületet leíró képletben az első és második alapmennyiségek is szerepeltek. Ezért meglepő a következő tétel, a felületelmélet főtétele:
Ez a látszólag technikai jellegű állítás nagyon fontos következménnyel jár. Tegyük fel
ugyanis, hogy egy felületet úgy akarunk leképezni egy másik felületre, hogy közben a rajta
lévő pontok távolsága ne változzon (az ilyen leképezést izometrikus leképezésnek
nevezzük). A felületen két pont távolságát egy ívhossz adja meg, mely viszont kizárólag az
első alapmennyiségek függvénye. Így a fenti tétel értelmében két felület között
izometrikus leképezés csak akkor létezhet, ha a két felület Gauss-görbülete pontonként
megegyezik. Legyen ugyanis az egyik felület , melynek első alapmennyiségei
, a másik,
felület
első alapmennyiségei pedig
. Tegyük
föl, hogy a két felületet pontonként kölcsönösen egyértelműen egymásra képeztük,
majd megfelelő paramétertranszformációval elértük, hogy minden
párra
. Egy rögzített pontban és egy abból kiinduló
rögzített irányban vizsgáljuk meg az egymásnak megfelelő ívhosszak esetleges torzulását, amit
határértékben a
kifejezés ír le. Tudjuk, hogy az ívhossz mérése mindkét felületen a
képlet alapján történik. Mivel a torzítás képletében szereplő határérték deriváláshoz vezet, írhatjuk, hogy
Ha a leképezés torzításmentes, akkor az utolsó hányados számlálójának és
nevezőjének minden pontban és minden irányban meg kell egyeznie, ami csak úgy lehetséges, ha
,
és
teljesül.
Ha megengedünk torzítást, de elvárjuk, hogy egy pontból minden
irányban azonos legyen a torzítás mértéke, akkor a fentiek szerint
Ez
viszont minden irányra csak akkor teljesül, ha ,
és
. Az ilyen
leképezés szögtartó, hiszen a minden irányban azonos mértékű torzítás a nagyításnak vagy
kicsinyítésnek felel meg. Az ilyen leképezéseket konform leképezéseknek is nevezzük.
Hangsúlyozzuk, hogy a szögtartás általában nem jár együtt a távolságtartással, visszafelé
azonban igen: minden távolságtartó leképezés szögtartó is.
Még kevesebb elég ahhoz, hogy a leképezés területtartó legyen. A felszínszámítás képletéből kiindulva hasonló módon látható be, hogy ehhez az
azonosságnak kell teljesülnie.
A fentiek értelmében a síkra csak olyan felület képezhető le izometrikusan, melynek Gauss-görbülete minden pontjában nulla. Az ilyen felületek éppen az előző fejezetben tárgyalt kifejthető felületek.
11.11. Példa. A gömb konstans pozitív Gauss-görbületű felület, míg a sík Gauss-görbülete minden pontban zérus. Így a két felület nem képezhető le egymásra izometrikusan, azaz például nem készíthető távolságtartó (léptéktartó) térkép a Földről. Készíthető viszont szögtartó térkép, melyet a légi és vízi közlekedésben használnak.
Megjegyezzük még, hogy a gömb fontos szerepet játszik a Gauss-görbület másféle értelmezésében is. Görbék esetén vizsgáltuk azt a leképezést, melyben a görbe pontjaihoz az egységsugarú kör pontjait rendeltük, mégpedig azt a pontot, amelyiket a görbe adott pontbeli főnormális vektorának origóból induló reprezentánsa jelöl ki.
Ehhez hasonlóan definiálhatunk a felületen is egy leképezést.
11.12. Definíció. A felület minden pontjához rendeljük hozzá az origó középpontú, egységnyi sugarú gömbnek azt a pontját, melyet az adott pontbeli normális egységvektor origóból induló repreneztánsa jelöl ki. Ezt a leképezést Gauss-féle gömbi leképezésnek, a felületnek a gömbön keletkezett képét gömbi képnek nevezzük. (11.2. ábra).
Megjegyezzük, hogy a görbékhez hasonlóan a felületeknél is igaz, hogy a leképezés egyértelmű, de nem feltétlenül kölcsönsen egyértelmű. Minden pont körül létezik azonban olyan kis tartomány a felületen, melynek gömbi képe kölcsönösen egyértelmű módon jön létre.
Ahogy a görbék görbületét lehetett vizsgálni a normálisok által az egységkörön kijelölt ív és a görbeív hányadosának határértékeként, úgy igaz ez a felületek esetére is, csak most ívhosszok helyett felszínek hányadosát kell tekintenünk. A most következő állításból látszik igazán, hogy a felületek Gauss-görbülete egyenes általánosítása a görbék görbületfogalmának.
11.13. Tétel. Legyen adott a
felület valamely
pontja. Tekintsük ennek a pontnak olyan
környezetét a felületen, melynek gömbi képe kölcsönösen egyértelmű módon jön létre. Ekkor a felület adott pontbeli Gauss-görbülete előáll a felületdarab felszínének és a gömbi leképezésben ennek megfelelő gömbsüveg felszínének hányadosaként, azaz
ahol
a felületnek,
pedig a gömbnek az első alapmennyiségei, míg az
a
tartomány felszíne.