Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A Gauss-Bonnet tétel

A Gauss-Bonnet tétel

Ebben a fejezetben a címben említett tételt, a differenciálgeometria egyik legmélyebb eredményét vizsgáljuk, melynek több verzióját is fölírjuk. A tétel Gauss által megfogalmazott első verziója lényegében arról szól, hogy ha egy felületre egy olyan háromszöget rajzolunk, melynek oldalai geodetikusok (azaz amely a síkbeli jól ismert háromszög általánosítása), akkor ennek a háromszögnek a szögösszege a hagyományos összegtől általában különbözni fog, éspedig éppen annyival, mint a felület Gauss-görbületének a háromszög fölött vett felszín szerinti integrálja, azaz ha a geodetikus háromszög szögei , a háromszöget pedig -vel jelöljük, akkor

vagy a külső szögekre megfogalmazva (ahol tehát ,, ):

Speciális esetben, ha a felület konstans görbületű, jól ismert eredményeket kapunk. Nyilvánvaló, hogy ha , azaz kifejthető felületen vagyunk, akkor a képlet az euklideszi geometriából jól ismert szögösszeget adja. Ha , de állandó, például ha , akkor

12.2. ábra. Konstans görbületű felületekre rajzolt gedetikus háromszögek szögösszege: esetén (balra fent), esetén (jobbra fent), esetén

Ez azt jelenti, hogy az egységsugarú gömbön három főkör által kimetszett gömbháromszög szögösszege mindig nagyobb mint , mégpedig éppen a háromszög területének mértékével. Ha nem egységsugarú gömböt vizsgálunk, hanem tetszőleges sugarút, akkor akkor ennek Gauss-görbülete , azaz a szögösszeg szintén nagyobb lesz -nél, de a különbség a terület és szorzata lesz.

Ha , de állandó, akkor a pszeudoszférán vagyunk, melynek geodetikusai által kimetszett háromszögnek szögösszege így mindig kisebb lesz mint (lásd 12.2. ábra).

Természetes módon merül fel a kérdés, hogy mi a helyzet akkor, ha a felületre rajzolt háromszög oldalai nem geodetikusok. A fenti képlet annyiban módosul, hogy az oldalívek geodetikus görbülete is megjelenik, ami geodetikusoknál azonosan nulla volt. A tételet még általánosabb formában, a felületre rajzolt oldalú sokszögekre mondjuk ki.

12.7. Tétel. Legyen adott az irányítható felületen egy körlappal homeomorf felületdarab, melynek zárt határgörbéje véges sok pontban megtörik, ezekben a töréspontokban a beérkező és a kiinduló érintővektorok szöge (a "külső" szög) legyen . A határgörbe egyébként legyen reguláris görbe, melynek geodetikus görbülete . Ekkor a külső szögek összegének és -nek a különbsége éppen a felület Gauss-görbülete felszín szerinti integráljának és a határgörbe geodetikus görbülete görbementi integráljának összege, azaz

Még meglepőbb általánosítása a tételnek az az állítás, amit következményével együtt sokszor globális Gauss-Bonnet tételként említenek. Ha a felületre rajzolt alakzat nem körrel homeomorf felületdarabot határol, akkor ennek a felületdarabnak az Euler-karakterisztikája is megjelenik a képletben:

Ennek tulajdonképpeni következménye, hogy ha egy korlátos zárt felületet vizsgálunk, melynek tehát nincs határvonala, akkor a képletből eltűnnek a határgörbére vonatkozó tagok.

12.8. Tétel. Ha korlátos, zárt felület, melynek Gauss-görbülete , Euler-karaterisztikája pedig , akkor

A tétel azért igazán meglepő, mert a Gauss-görbület az egyes pontokban nyilvánvalóan változhat, ha a felületet valamilyen homeomorfizmusnak vetjük alá, az Euler-karaktersztika viszont topológiai invariáns. A tétel éppen azt állítja, hogy bár az egyes pontok Gauss-görbülete változhat, a teljes görbület a homeomorfizmussal szemben szintén invariáns marad.