Ebben a fejezetben a címben említett tételt, a differenciálgeometria egyik legmélyebb eredményét vizsgáljuk, melynek több verzióját is fölírjuk. A tétel Gauss által megfogalmazott első verziója lényegében arról szól, hogy ha egy felületre egy olyan háromszöget rajzolunk, melynek oldalai geodetikusok (azaz amely a síkbeli jól ismert háromszög általánosítása), akkor ennek a háromszögnek a szögösszege a hagyományos összegtől általában különbözni fog, éspedig éppen annyival, mint a felület Gauss-görbületének a háromszög fölött vett felszín szerinti integrálja, azaz ha a geodetikus háromszög szögei , a háromszöget pedig -vel jelöljük, akkor

vagy a külső szögekre megfogalmazva (ahol tehát ,, ):

Speciális esetben, ha a felület konstans görbületű, jól ismert eredményeket kapunk. Nyilvánvaló, hogy ha , azaz kifejthető felületen vagyunk, akkor a képlet az euklideszi geometriából jól ismert szögösszeget adja. Ha , de állandó, például ha , akkor

Ez azt jelenti, hogy az egységsugarú gömbön három főkör által kimetszett gömbháromszög szögösszege mindig nagyobb mint , mégpedig éppen a háromszög területének mértékével. Ha nem egységsugarú gömböt vizsgálunk, hanem tetszőleges sugarút, akkor akkor ennek Gauss-görbülete , azaz a szögösszeg szintén nagyobb lesz -nél, de a különbség a terület és szorzata lesz.

Ha , de állandó, akkor a pszeudoszférán vagyunk, melynek geodetikusai által kimetszett háromszögnek szögösszege így mindig kisebb lesz mint (lásd 12.2. ábra).

Természetes módon merül fel a kérdés, hogy mi a helyzet akkor, ha a felületre rajzolt háromszög oldalai nem geodetikusok. A fenti képlet annyiban módosul, hogy az oldalívek geodetikus görbülete is megjelenik, ami geodetikusoknál azonosan nulla volt. A tételet még általánosabb formában, a felületre rajzolt oldalú sokszögekre mondjuk ki.

Még meglepőbb általánosítása a tételnek az az állítás, amit következményével együtt sokszor globális Gauss-Bonnet tételként említenek. Ha a felületre rajzolt alakzat nem körrel homeomorf felületdarabot határol, akkor ennek a felületdarabnak az Euler-karakterisztikája is megjelenik a képletben:

Ennek tulajdonképpeni következménye, hogy ha egy korlátos zárt felületet vizsgálunk, melynek tehát nincs határvonala, akkor a képletből eltűnnek a határgörbére vonatkozó tagok.

A tétel azért igazán meglepő, mert a Gauss-görbület az egyes pontokban nyilvánvalóan változhat, ha a felületet valamilyen homeomorfizmusnak vetjük alá, az Euler-karaktersztika viszont topológiai invariáns. A tétel éppen azt állítja, hogy bár az egyes pontok Gauss-görbülete változhat, a teljes görbület a homeomorfizmussal szemben szintén invariáns marad.