A 2.2. fejezetben megismerkedtünk a topológiai értelemben vett sokaságokkal, mint olyan alakzatokkal, melyek lokálisan az euklideszi térhez hasonlóan viselkednek. Vizsgálhatunk olyan sokaságokat, melyeknél plusz tulajdonságokat is megkövetelünk, így téve lehetővé, hogy a differenciálgeometriai értelemben vett görbékhez és felületekhez hasonlóan differenciálgeometriailag kezelhető sokaságokhoz, az úgynevezett differenciálható sokaságokhoz jussunk el.

A differenciálgeometria ezen fejezetei az eddigieknél jóval absztraktabb megközelítést kívánnak meg, ugyanakkor a sokaságok vizsgálata, azok differenciálgeometriája olyan központi jeletőségű alkalmazásokban jelenik meg, mint például az általános relativitáselmélet "görbült tér" fogalma.

A fenti két elnevezés szemléletesen azt jelenti, mint amikor a földgömbről készített térképeket, illetve az ezeket összegyűjtő atlaszt vizsgáljuk. A földgömb felülete sokaság, ennek egy pontja, pl. Eger városa körüli részt egy térképen jeleníthetünk meg. Az atlasz olyan könyv, mely elegendő mennyiségű térképet tartalmaz ahhoz, hogy a földgömb minden pontját megtaláljuk legalább az egyik térképen. Fontos és természetes, hogy egy-egy pont több térképen is szerepelhet, de nem lehet olyan pont, mely ne lenne rajta egyik térképen sem. Egyelőre azonban egy pont kis környezetének az atlasz két különböző térképén való megjelenésével kapcsolatban semmilyen feltételt nem szabtunk, azok nagyon különbözőek lehetnek. Ha két ilyen térkép között differenciálható leképezést tudunk létrehozni, akkor az azt biztosítja, hogy a térképek közötti átmenet elegendően sima.

A differenciálható sokaságok tehát abban különböznek a pusztán topologikus sokaságoktól, hogy simábban jeleníthetők meg a térképeken. Ez azonban, mint az alábbi tétel mutatja, egyben azt is jelenti, hogy maguk a sokaságok sem nézhetnek ki "túl vadul" - mindegyik megjeleníthető egy magasabb dimenziós euklideszi térben.

A beágyazáshoz szükséges dimenziószám konkrét sokaságoknál természetesen kisebb is lehet. Például a gömbfelület két dimenziós sokaság, a tétel szerint beágyazható az 5 dimenziós euklideszi térbe, de természetesen tudjuk, hogy az -ba is beágyazható. Vannak azonban olyan sokaságok, ahol a tételben szereplő dimenziószám nem csökkenthető.

A sokaságokon - és innentől kezdve sokaságon mindig differenciálható sokaságot értünk - a felületekhez hasonlóan definiálhatunk "felületi" görbéket, mint olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a valós számok egy intervalluma, értékkészlete pedig a sokaság pontjaiból áll. Ternészetesen a felületelmélethez hasonlóan itt is megköveteljük, hogy a leképezés differenciálható legyen.

A felületi görbékhez érintővektorokat is definiálhatunk.

Az érintőtér a felületek adott pontbeli érintősíkjának általánosítása. Az érintőtér dimenziója mindig megegyezik az eredeti sokaság dimenziójával: a felület érintősíkja 2 dimenziós, az dimenziós sokaság érintőtere szintén dimenziós.

A differenciálható sokaságokon belül további specializálással újabb sokaságfogalmakhoz juthatunk. Ezek közül a legklasszikusabb a Riemann által bevezetett sokaságfogalom, melyben megköveteljük, hogy az érintőterek vektorterekként funkcionáljanak.

Ez a technikai részlet azért fontos, mert így az érintőtéren távolság mérhető, ami a sokaságra vetítve is használható egyfajta távolságfogalomként, azaz a távolságokat nem magán a sokaságon mérjük, hanem annak érintőterein. A Riemann-sokaságok elmélete fontos szerepet játszik a matematika és a fizika számos területén.