Ugrás a tartalomhoz

A matematikai logika alkalmazásszemléletű tárgyalása

Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda, Sági Gábor

Panem Kft.

Chapter 2. A logikáról általában

Chapter 2. A logikáról általában

A logika meghatározásáról

A szaktudományok a valóság egy-egy területének megismerésével foglalkoznak. Módszerük a megfigyelés, az adatgyűjtés és a tények alapján következtetések levonása. A logika tárgya a gondolkodás. Feladata a gondolkodásformák analizálása, a helyes gondolkodásformák meghatározása és helyes következtetési szabályok kidolgozása. A logika egyik fontos alapfogalma az állítás,[3] amelyet valamely kijelentő mondat információtartalmaként definiálhatunk. Az állításhoz tartozó két segédfogalom az igazság és a hamisság fogalma. Az állítások közös tulajdonsága vagy közös jellemzője az, hogy információtartalmuk vagy igaz, vagy hamis. Egy megállapítást a logika szempontjából akkor tekintünk állításnak, ha tetszőleges kontextusban vagy igaz, vagy hamis. Azt mondjuk, hogy egy állítás igaz, ha információtartalma megfelel a valóságnak (a tényeknek), és hamis az ellenkező esetben. Ehhez a döntéshez a megfigyelés, a kísérletezés és az általánosítás, illetve az egyes tudományterületeken elért eredmények adnak segítséget. Az igaz és a hamis értékeket igazságértékeknek nevezzük.

A mindennapi beszédben használt kijelentő mondatok legtöbbször nem fejeznek ki állítás értékű információt, mivel a kijelentésbe sokszor beleértik az időpontot, a környezet állapotát, az általános műveltség valamilyen szintjét egyszóval a mondat tartalmának megítélésébe a kontextus is beleszámít. A ,,ma reggel 8-kor sütött a nap” kijelentés igaz vagy hamis voltáról dönteni csak akkor lehet, ha ismerjük a kijelentéssel kapcsolatos körülményeket, a kontextust. Tehát tudjuk, hogy milyen földrajzi helyre vonatkozik a kijelentés és azt, hogy a ,,ma reggel” az dátum szerint melyik nap reggelét jelenti.

2.1.1. MEGJEGYZÉS. Állítások például az ,,Anna haja szőke”, ,,minden páros szám osztható 2-vel”, ,,léteznek 5-nél nagyobb számok”, ,,az 5 kisebb, mint az 1” (hamis állítás). Nem állítások a paramétert tartalmazó megállapítások: ,,x nemnegatív”, a jövő idejű kijelentések: ,,Anna haja holnap is szőke lesz”, a nem létező individuumra vonatkozó megállapítások: ,,a francia király 2002. május 5-én Budapestre érkezett”, a nem egyértelmű megállapítások: ,,Anna elég jól úszik”, az önhivatkozást tartalmazó egyes állítások: ,,most nem mondok igazat”.

A kétértékű logika az állítások két lehetséges igazságértékére épül. A két igazságérték jól meghatározott és egymást kizárja. Az ellentmondás elve azt jelenti, hogy egy állítás nem lehet egyszerre igaz is, és hamis is. A dichotómia, másképp kétértékűség vagy kizárt harmadik elve szerint nem lehet, hogy egy állítás értéke se nem igaz, se nem hamis. A logika nevében a ,,kétértékű” jelző a dichotómia elvére utal.

A dichotómia elve egy idealizáló (egyszerűsítő) absztrakció eredménye. Ezzel az absztrakcióval a logika a gondolkodás működésének lényeges vonását tükrözi. Hogy ezt a logikát fel lehessen használni az kell, hogy a való világ absztrakciója ezzel összhangban legyen. Más esetben, amikor ez az állításfogalom nem felel meg a fenti elvárásoknak, óvatosnak kell lenni a kétértékű logika alkalmazásával. Meg kell említeni, hogy már Arisztotelész felveti olyan logika szükségességét, amely kettőnél több igazságértéket tud kezelni. A dichotómia elvéhez tartozó föltevés az is, hogy az igazságértékek objektívek és az időtől függetlenek. Egy állítás igazságértéke az állításnak a valósághoz való tényleges viszonyát fejezi ki attól függetlenül, hogy erről van-e tudomásunk. Az állítás igazságértéke időben nem változhat, ugyanis ha egy kijelentő mondat információtartalma függ az időtől, a kétértékű logika állításfogalma szerint nem tekintjük állításnak.

A logika feltárja az állítások közötti kapcsolatokat és összefüggéseket. Ennek ismerete igen fontos a gondolkodás legkülönbözőbb területein. A gondolkodás egyik közismert formája a következtetés. Bizonyos adott információkból – előzményekből, premisszákból – kiindulva következtetéssel olyan új információhoz – zárótételhez, konklúzióhoz, következményhez – juthatunk, amely az előzményekben rejtetten szerepelt.

A logika legfontosabb feladatainak egyike annak tisztázása, hogy melyek a helyes következtetés ismérvei. A következtetés premisszái állítások (kijelentő mondatok), a konklúzió szintén egy állítás lesz. Megfelelőnek tűnik a következő kritérium: egy következtetés akkor helyes, ha valahányszor a premisszák igazak, akkor a konklúzió ,,kötelezően igaz”. Tisztázni kell azonban, hogy mit értsünk a ,,kötelezően igaz” kifejezés alatt. Idetartozzanak-e az oksági kapcsolatok, amikor az igaz premisszák esetén a következmény a természet törvényei alapján lesz igaz? Ebben az esetben a szaktudományok belső törvényeinek feltárása is a logika feladata lenne. Egy ilyen következmény az illető tudományágban szükségszerűség, de a logika szempontjából mindössze egy igaz állítás. Azt is el kell kerülni, hogy a következtetést konkrét, tartalmi információk befolyásolják. Ehhez a következtetésben részt vevő állításoknak valamilyen közös, a következtetések szempontjából lényeges tulajdonságát, az igazságértékét kell felhasználni. Ezután a következtetés helyessége formai kérdéssé válik. A logikának azt az ágát, amely a fenti módon közelíti a gondolkodás vizsgálatát klasszikus kétértékű logikának nevezzük.

A gondolkodás törvényei általános érvényűek. Fontos azonban, hogy milyen nyelvi eszközöket használunk a logika tárgyalására. Az egyes tudományágak leírásánál általában speciális nyelvi eszközöket dolgoztak ki a tények leírására és speciális, az illető tudományágra jellemző következtetésformákat alakítottak ki. Például a matematikában is kialakult egy sajátos nyelv és jelölésrendszer, valamint a matematikára jellemző néhány következtetési szabály. Ilyenek például a teljes indukció vagy az indirekt bizonyítás. A matematikai logika a logikának az az ága, amelynek feladata a matematikán belüli helyes gondolkodásformák, helyes következtetési szabályok feltárása és kialakítása. A matematikai logika leíró nyelvként a matematikában általában alkalmazott jelölésrendszerrel rokon nyelvet használ.

Természetesen nemcsak a klasszikus kétértékű logika keretei között lehet állításokat megfogalmazni, következtetések helyességét vizsgálni. A nemklasszikus logikai rendszerek feladnak egy vagy több – az állításfogalomra és az igazságértékre vonatkozó – klasszikus logikai alapelvet. A teljesség igénye nélkül néhány, a gyakorlatban is alkalmazott nemklasszikus logika: többértékű, határérték-, fuzzy-, lineáris, típuselméleti, valószínűségi logika, a tudásábrázolásban használt leíró logika, továbbá modális logikák, mint például az időlogika (temporális logika).



[3] Az állítás szinonimájaként használják még az ítélet vagy a kijelentés elnevezést is. Angolul pedig egyformán elfogadottak a proposition, a statement és a sentence szavak.