Az együtt élő nemzedékek makromodellje

Tegyük fel, hogy bármely időszakban két együtt élő nemzedék létezik, ahol is a fiatalok anyagi lehetőség birtokosai, míg az öregek birtokosai, valamint ez utóbbiak a kezdő időpontban M mennyiségű hitelpénzzel is rendelkeznek. Legyen p(t) az ár, és pedig a fiatal és az öreg nemzedék fogyasztása a t időpontban. A fiatalok a haszon maximalizálásra törekszenek:

ami az alábbi különböző időpontok közötti, intertemporális költségvetési kötöttségnek van alávetve:

A fentiek a fiatalok esetében a p(t) és p(t+1) változásával egy O nemzedékközi kínálati görbe kialakulását eredményezik. Ami az öregeket illeti, esetükben az első időpontban a következő feltételnek kell teljesülnie:

Amennyiben adott a Ricardo-féle intertemporális termelési lehetőségek határa,

úgy az egyenleteket kielégítő ár- és fogyasztási szintek tökéletesen előre jelezhető (azaz racionálisan várható) egyensúlyok halmazát fogják meghatározni.

Az így létrehozott mintázat az O nemzedékközi kínálati görbe „púposságától” fog függni. Elegendően nagy „púposság” nem csupán endogén ciklusokhoz, hanem kaotikus ciklusok kialakulásához is vezethet. Benhabib és Day (Benhabib és Day 1982) kimutatja, hogy ez a púposság pozitív módon függ az egyének jelen- és jövőbeli fogyasztása közötti kényszerű helyettesíthetőség marginális rátájának változékonyságától. A káosz kialakulásának pontos, elégséges feltételei függnek továbbá a fiatalok anyagi ellátottságától és a népesség növekedési rátájától. Arra is rámutatnak, hogy ezek a kaotikus trajektóriák efficiensek, azaz a Pareto-értelemben optimálisak.

Van az együtt élő nemzedékek tökéletes előrelátáson alapuló modelljének egy némiképp eltérő változata (Rosser, 1993), amely endogén kaotikus dinamikát képes előállítani. Ez a modell a változó kamatlábak miatt az intertemporális vagyoni és helyettesítési hatások között kialakuló ellentéteket vizsgálja. A kaotikus dinamika akkor alakulhat ki, ha az öregebb szereplőknek a vagyonukból való fogyasztási határhajlandósága a fiatalabbaknál elégséges mértékben magasabb. Pontosítva, mindkét nemzedék esetében legyen a reálvagyon a, és V az indirekt hasznosságfüggvény. Ez esetben a relatív kockázatkerülési együttható a V függvény görbületét méri

Kaotikus ciklusok akkor fognak megjelenni, ha teljesül. Ilyen esetet mutat be a következő ábra. A vízszintes tengelyen a µ reál pénzügyi egyensúly t időpillanatban felvett értékét, míg a függőleges tengelyen -t, a valós pénzügyi egyensúlynak a (t+1) időpontra hibátlanul előre jelzett dinamikáját mérjük fel. A „púpossága” növekszik növelésével. A modell alapján elmondható, hogy a nemzedékközi arányos pénzátruházás keynesiánus kormányzati gyakorlata képes a kamatlábakkal kapcsolatos várakozásokat leszorítani, és kiküszöbölni bármely ciklikus következményt. Ez azonban nemcsak attól függ, hogy a kezdeti feltételekre érzékenyen reagáló kaotikus dinamika megléte mellett a kormányzat képes-e pontos előrejelzést nyújtani, hanem attól is, hogy az emberek teljesen megbíznak-e a kormányzati gyakorlatban.