Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

2 §. Ívhossz

2 §. Ívhossz

A későbbiekben gyakran szerepel az esemény fogalma. Egy eseményt meghatároz az a hely, ahol végbement, és az az idő, amikor megtörtént. Tehát valamely anyagi részecskével megtörtént eseményt a részecske három térbeli koordinátája és a történést jellemző időpillanat határoz meg.

A szemléletesség kedvéért gyakran hasznos négydimenziós ábrázolást használni, amelynek tengelyein a három térkoordinátát és az időt mérjük fel. Ebben a négydimenziós térben az esemény egy ponttal ábrázolható. Ezeket a pontokat világpontoknak nevezzük. A négydimenziós térben minden részecskének egy bizonyos vonal (világvonal) felel meg. A világvonal pontjai meghatározzák a részecske koordinátáit minden időpillanatban. Az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző anyagi pont világvonala egyenes.

Most megfogalmazzuk matematikai alakban a fénysebesség állandóságát. E célból felveszünk egy K és egy K′ vonatkoztatási rendszert, melyek egymáshoz képest állandó sebességgel mozognak. Koordinátatengelyeiket úgy választjuk meg, hogy az x és x′ tengelyek essenek egybe, az y és z tengelyek pedig legyenek párhuzamosak az y′és z′ tengelyekkel; az időt a K rendszerben t-vel, a K′-ben t′-vel jelöljük.

Legyen az az első esemény, hogy a K rendszer x1, y1, z1, koordinátájú pontjából a K rendszer t1 időpillanatában egy fénysebességgel terjedő jel indul ki. Ennek a jelnek terjedését fogjuk nyomon követni a K rendszerből. Második esemény legyen az, hogy a jel a t2 időpillanatban megérkezik az x2, y2, z2 pontba. A jel fénysebességgel terjed, tehát az általa megtett út c(t2–t1). Ugyanakkor ez az út egyenlő az [(x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2]1∕2 távolsággal. A két esemény K rendszerben érvényes koordinátái között fennáll tehát az alábbi összefüggés:

1.2. egyenlet - (2.1)

( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z 2 z 1 ) 2 c 2 ( t 2 t 1 ) 2 = 0 .

Ugyanez a két esemény (a jel terjedése) a K′ rendszeren is megfigyelhető. Legyenek az első esemény koordinátái a K′ rendszerben x1′, y1′, z1′, t1′, a második eseményé pedig x2′, y2′, z2′, t2′. A K és K′ rendszerekben a fénysebesség azonos, tehát a (2.1)-hez hasonlóan azt kapjuk, hogy

1.3. egyenlet - (2.2)

( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z 2 z 1 ) 2 c 2 ( t 2 t 1 ) 2 = 0 .

Ha x1, y1, z1, t1 és x2, y2, z2, t2 valamilyen két esemény koordinátái, akkor az

1.4. egyenlet - (2.3)

s 1 2 = [ c 2 ( t 2 t 1 ) 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 ] 1 2

mennyiséget a két esemény ívhosszának nevezzük.

Minthogy a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, ha két esemény ívhossza az egyik rendszerben eltűnik, akkor az nulla az összes többi rend- szerben is.

Ha két esemény végtelenül közel van egymáshoz, ívelemnégyzetük az alábbi módon adható meg:

1.5. egyenlet - (2.4)

d s 2 = c 2 d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 .

(2.3) vagy a (2.4) kifejezések alakja lehetővé teszi, hogy az ívhosszat formailag úgy kezeljük, mint egy négydimenziós tér (amelynek a tengelyeire az x, y, z koordinátákat és a ct szorzatot mérjük fel) két pontjának távolságát. Az ívhossz nagyságát meghatározó szabályunk és a geometriai távolság kiszámítására vonatkozó szabály közt van azonban egy lényeges különbség: az ívhossz négyzetének képzésekor a különböző koordináták különbségeinek négyzetét nem azonos, hanem különböző előjelekkel kell összeadni.[1]

Amint a fentiekben megmutattuk, ha valamely inerciarendszerben ds=0, akkor egy másik inerciarendszerben is ds′=0. Másrészről ds és ds′ azonos rendben végtelen kicsiny mennyiségek. Ebből a két tulajdonságból következik, hogy ds2-nek és ds′2-nek arányosaknak kell lenniük egymással:

d s 2 = a d s 2 .

Itt az a együttható csupán a két inerciarendszer relatív sebességének abszolút értékétől függhet. (A hely- és időkoordinátáktól azért nem függhet, mert akkor a tér különböző pontjai és a különböző időpillanatok nem lennének egyenértékűek, ami ellentmondásban áll a téridő homogenitásával. Nem függhet a relatív sebesség irányától sem, mert ez a tér izotrop voltának mondana ellent.)

Vizsgáljunk meg ezek után három vonatkoztatási rendszert, K-t, K1-et, K2-t, és jelöljük V1-gyel és V2-vel a K1 és K2 rendszer K-hoz viszonyított mozgásának sebességét. Ekkor

d s 2 = a ( V 1 ) d s 1 2 , d s 2 = a ( V 2 ) d s 2 2 .

Ugyanilyen joggal azt is írhatjuk, hogy

d s 1 2 = a ( V 1 2 ) d s 2 2 ,

ahol V12 a K2 rendszer K1-hez viszonyított mozgása sebességének abszolút értéke. Ezeket az egyenlőségeket egymással összehasonlítva, azt kapjuk, hogy teljesül az

1.6. egyenlet - (2.5)

a ( V 2 ) a ( V 1 ) = a ( V 1 2 )

összefüggés. De V12 nemcsak a V1 és V2 vektorok abszolút értékétől, hanem a közöttük levő szögtől is függ. Ugyanakkor (2.5) bal oldalán ez a szögfüggés nem lép fel. Ezért a (2.5) összefüggés csak akkor lehet érvényes, ha az a(V) függvény állandó. Az állandó értéke (2.5) szerint csak 1 lehet, tehát

1.7. egyenlet - (2.6)

d s 2 = d s 2 .

A végtelen kicsiny ívelemek egyenlőségéből a véges ívhosszak egyenlősége is következik: s=s′.

Végeredményben így ahhoz a nagyon jelentős eredményhez jutottunk, hogy az események ívhossza minden inerciarendszerben ugyanaz, tehát az ívhossz invariáns minden olyan transzformációval szemben, amely egy adott inerciarendszerről valamilyen másik inerciarendszerre való áttérést jelent. Ez az invarianciatulajdonság éppen a fénysebesség változatlanságának matematikai megfogalmazása.

Valamely K vonatkoztatási rendszerben jelölje ismét x1, y1, z1, t1 és x2, y2, z2, t2 két esemény koordinátáit. Kérdés, létezik-e olyan K′ vonatkoztatási rendszer, amelyben ez a két esemény a tér ugyanazon pontjában megy végbe.

Bevezetve a

t 2 t 1 = t 1 2 , ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z 2 z 1 ) 2 = l 1 2 2

jelölést, az események ívhosszának négyzete a K rendszerben

s 1 2 2 = c 2 t 1 2 2 l 1 2 2 ,

és a K′ rendszerben

s 1 2 2 = c 2 t 1 2 2 l 1 2 2 .

Az ívhossz invarianciája miatt

c 2 t 1 2 2 l 1 2 2 = c 2 t 1 2 2 l 1 2 2 .

Azt akarjuk, hogy a K′ rendszerben a két esemény ugyanabban a térbeli pontban menjen végbe, azaz l12′=0 legyen. Ekkor

s 1 2 2 = c 2 t 1 2 2 l 1 2 2 = c 2 t 1 2 2 > 0 .

Tehát a kívánt tulajdonságú vonatkoztatási rendszer akkor létezik, ha s122>0, azaz az események ívhossza valós. A valós ívhosszakat időszerű ívhosszaknak nevezzük.

Ha tehát két esemény között az ívhossz időszerű, akkor létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a két esemény ugyanazon a helyen megy végbe. Ebben a rendszerben a két esemény között eltelt idő:

1.8. egyenlet - (2.7)

t 1 2 = 1 c c 2 t 1 2 2 l 1 2 2 = s 1 2 c .

Ha két esemény ugyanazzal a testtel történik meg, akkor a két esemény intervalluma mindig időszerű. Valóban, az az út, amit a test a két esemény között megtesz, nem lehet több, mint ct12, mivel a test sebessége nem lehet nagyobb, mint a fénysebesség. Ezért mindig teljesül, hogy

l 1 2 < c t 1 2 .

Ezek után felvetődik a kérdés, lehetséges-e olyan koordináta-rendszert választani, amelyben a két esemény ugyanabban az időpillanatban megy végbe? Csakúgy, mint az előzőekben, a K és K′ rendszerekben most is igaz, hogy c2t122–l122=c2t12′2–l12′2. Azt követeljük, hogy t12′=0 legyen, tehát

s 1 2 2 = l 1 2 2 < 0 .

Következésképpen csak abban az esetben lehet találni a keresett tulajdonságú rendszert, ha a két esemény ívhossza képzetes. A képzetes ívhosszakat térszerű ívhosszaknak nevezzük.

Ha tehát két esemény ívhossza térszerű, akkor létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a két esemény egyidejű. Ebben a rendszerben az események távolsága:

1.9. egyenlet - (2.8)

l 1 2 = l 1 2 2 c 2 t 1 2 2 = i s 1 2 .

Az ívhosszak időszerű és térszerű ívhosszakra való felosztása (az ívhossz invarianciája miatt) abszolút fogalom. Ez azt jelenti, hogy az ívhossz időszerű vagy térszerű volta nem függ a vonatkoztatási rendszertől.

2. ábra - 2. ábra

2. ábra

Válasszunk most valamilyen eseményt – jelöljük O-val – a négydimenziós téridő-koordinátarendszer origójának. Így a négydimenziós koordináta-rendszerben, amelynek tengelyeire az x, y, z és t értékeit mérjük fel, az O eseménynek megfelelő világpont a koordináták kezdőpontja lesz. Vizsgáljuk meg ezek után, milyen viszonyban van az adott O eseménnyel a többi esemény. A szemléletesség kedvéért csak az időt és az egyik térkoordinátát vegyük szemügyre, amelyeket két tengelyre mérünk fel. Az x=0, t=0 ponton áthaladó, egyenes vonalú egyenletes mozgást végző részecskét olyan egyenes vonal ábrázolja, amely átmegy O-n és a t tengelyhez viszonyított meredeksége egyenlő a részecske sebességével. Minthogy a lehető legnagyobb sebesség a fénysebesség, létezik legnagyobb szög, amelyet a szóban forgó egyenes a t tengellyel bezárhat. A  2. ábrán két olyan egyenest tüntettünk fel, melyek két, az O eseményen (azaz az x=0 ponton, t=0-ban) ellentétes irányban áthaladó jel (fénysebességgel történő) terjedését ábrázolják. Mindazok a vonalak, amelyek részecskék mozgásait ábrázolják, csak az aOc és dOb tartomány belsejében fekhetnek. Az ab és cd egyenesek egyenlete nyilvánvalóan x=±ct. Vizsgáljuk meg most azokat az eseményeket, amelyeknek világvonalai az aOc tartomány belsejében futnak. Könnyű be látni, hogy e tartomány minden pontjában c2t2–x2>0. Más szóval, e tartomány bármely pontjának és az O eseménynek az intervalluma időszerű. Ebben a tartományban t>0, azaz e tartomány mindegyik eseménye az O esemény „után” ment végbe. Két olyan esemény azonban, amelyet időszerű ívhossz választ el, semmilyen vonatkoztatási rendszerben sem lehet egyidejű. Nincsen tehát olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az aOc tartomány bármely eseménye az O esemény „előtt” ment volna végbe, vagyis amikor t<0 volt. Tehát az a0c tartomány minden eseménye jövőbeli az O eseményhez képest, mégpedig bármelyik vonatkoztatási rendszerben. Ezért ezt a tartományt az O eseményhez viszonyított „abszolút jövőnek” nevezhetjük.

Teljesen hasonlóan a bOd tartomány mindegyik eseménye „abszolút múltbeli” az O eseményhez képest, hiszen e tartomány eseményei minden vonatkoztatási rendszerben az O esemény előtt mentek végbe.

Végül vizsgáljuk még meg a dOa és cOb tartományokat. E tartomány bármelyik eseményének és az O eseménynek az ívhossza térszerű. Ezek az események bármelyik vonatkoztatási rendszerben különböző térbeli pontokban játszódnak le. Ezért ezeket a tartományokat az O eseményétől „abszolút elválasztott” tartományoknak nevezhetjük. Az „egyidejű”, „előbb” és „később” fogalmak mindezen eseményekre relatívek. E tartományban bármely eseményhez lehet találni olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben az esemény korábban zajlik le, mint O, olyat, amelyben később zajlik le, mint O, és végül olyan rendszert is, amelyben a vizsgált esemény O-val egyidőben megy végbe.

Ha az egy térbeli koordináta helyett mind a három térkoordinátát figyelembe vesszük, akkor a  2. ábra két egymást metsző egyenesei helyett az x, y, z, t koordináták négydimenziós koordináta-rendszerében az x2+y2+z2–c2t2=0 „kúpot” kapjuk, amelynek tengelye a t tengellyel esik egybe. (Ezt a kúpot „fénykúpnak” szokás nevezni.) Az „abszolút jövő” és az „abszolút múlt” tartományai természetesen e kúp belső tartományát képezik.

Két esemény között csak akkor lehet oksági összefüggés, ha közöttük az intervallum időszerű. Ez közvetlen következménye annak, hogy semmilyen kölcsönhatás sem terjedhet a fénysebességnél nagyobb sebességgel. Amint a fentiekben láttuk, ilyen eseményekre a „korábban”, „későbben” fogalmaknak abszolút értelmük van, és ez szükséges feltétele annak, hogy az ok és okozat fogalmainak fizikai értelme legyen.



[1] (2.4) kvadratikus alakkal meghatározott geometriát pszeudoeuklideszi geometriának nevezik, a szokásos euklideszi geometriától való megkülönböztetésül. Ezt a geometriát a relativitáselmélettel kapcsolatban G. Minkowski vezette be.