Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

3 §. Sajátidő

3 §. Sajátidő

Tételezzük fel, hogy valamilyen inerciarendszerből figyelünk egy hozzánk képest tetszőlegesen mozgó órát. Az óra mozgása bármely pillanatban meghatározott sebességgel jellemezhető. Így minden időben található az órával pillanatnyilag együttmozgó (egyező sebességű) koordináta-rendszer, amelynek a sebessége állandó, amely tehát inerciarendszernek tekinthető.

Végtelenül kicsi dt időtartam elteltével (a nyugvó, azaz a mi rendszerünkben levő órán mérve) a mozgó óra

d x 2 + d y 2 + d z 2

távolságban lesz. Kérdés, mekkora dt′ időtartam elteltét mutatja ugyanekkor a mozgó óra? A mozgó órához rögzített koordináta-rendszerben ez az óra nyugalomban van, így ott dx′=dy′=dz′=0.

Az ívelemnégyzet invarianciája miatt

d s 2 = c 2 d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 = c 2 d t 2 ,

amiből

d t = d t 1 d x 2 + d y 2 + d z 2 c 2 d t 2 .

De

d x 2 + d y 2 + d z 2 d t 2 = v 2 ,

ahol v a mozgó óra pillanatnyi sebessége; így

1.10. egyenlet - (3.1)

d t = d s c = d t 1 v 2 c 2 .

Ezt a kifejezést integrálva, megkaphatjuk a mozgó óra által jelzett t2′–t1′ időtartamot, ha a nyugvó óra szerint t2–t1 időtartam telik el:

1.11. egyenlet - (3.2)

t 2 t 1 = t 1 t 2 d t 1 v 2 c 2 .

Azt az időt, amelyet valamely adott tárggyal együtt mozgó óra mér, a szóban forgó tárgy sajátidejének nevezzük. A (3.1) és (3.2) képletek a sajátidőt annak a vonatkoztatási rendszernek az idejével kifejezve adják meg, amelyben a mozgást vizsgáljuk.

(3.1) vagy a (3.2) képletekből láthatjuk, hogy a mozgó objektum sajátideje mindig kisebb annál az időtartamnál, amit a nyugvó rendszerben mérünk. Másképp kifejezve, a mozgó órák lassabban járnak, mint a nyugvók.

Végezzen egy óra egyenes vonalú egyenletes mozgást a K inerciarendszerhez képest. Az órához rögzített K′ vonatkoztatási rendszer szintén inerciális. Ekkor a K-ban ülő megfigyelő szerint a K′ rendszer órái lassabban járnak, mint a saját órái. Fordítva, a K′ rendszerbeli megfigyelő szerint a K rendszerbeli órák járnak lassabban. Meggyőződhetünk arról, hogy ez nem jelent semmiféle ellentmondást, ha figyelembe vesszük a következőket. Ha ki akarjuk mutatni, hogy a K′ rendszerbeli órák késnek a K rendszerbeli órákhoz képest, a következőképpen járhatunk el. Egy bizonyos időpillanatban haladjon el egy K′-ben levő óra egy K-ben levő óra mellett, és az órák állása egyezzen meg. Ha egy későbbi időpillanatban össze akarjuk hasonlítani a K és K′óráinak járását, a K′ rendszer előbb tárgyalt óráját most a K rendszer egy másik órájával kell egybevetnünk, azzal, amelyik mellett a K′-ben levő óra a későbbi időpillanatban éppen elhalad. Azt kapjuk, hogy a K′-ben kiszemelt óra késik K óráihoz képest. Látjuk, hogy két különböző rendszerben levő órák járását akkor tudjuk összehasonlítani, ha van néhány óránk az egyik és egy óránk a másik rendszerben. Eljárásunk tehát nem szimmetrikus a két rendszerre nézve. Mindig az az óra késik, amelyet a másik vonatkoztatási rendszer különböző óráival hasonlítunk össze.

Tekintsünk két órát, amelyek egyike zárt pályán mozog a másik (inerciarendszerünkben nyugvó) órához képest. Amikor a mozgó óra visszatér a kiindulási pontba, a mozdulatlan órához, azt tapasztaljuk, hogy a mozgó óra késik a mozdulatlan órához képest. A fordított érvelés, amely a mozgó órát tekintené mozdulatlannak, most nem használható, minthogy az olyan óra, amely zárt pályán mozog, nem végez egyenes vonalú egyenletes mozgást, tehát a hozzá rögzített vonatkoztatási rendszer nem lehet inerciarendszer.

Ha a természettörvények csak inerciarendszerekben azonosak, az álló órához (inerciarendszer), illetve a mozgó órához (nem inerciális rendszer) rendelt vonatkoztatási rendszerek különböző tulajdonságúak, így az a megfontolás, amely szerint a nyugvó órának késnie kell a mozgóhoz képest, többé nem érvényes.

Bármely óra által mutatott időtartam egyenlő az ennek az órának a világvonala mentén vett (1/c)∫ds vonal menti integrállal. Ha az óra nyugalomban van, világvonala az időtengellyel párhuzamos egyenes; ha azonban az óra zárt görbe mentén végez gyorsuló mozgást, és visszatér a kiindulási helyre, akkor világvonala olyan görbe, amely a nyugvó óra egyenes világvonalát két pontban metszi: a mozgás kezdetén, illetve végén. Láttuk azonban, hogy a nyugvó órák mindig nagyobb időtartamot mutatnak, mint a mozgók. Ily módon azt a végkövetkeztetést vonhatjuk le, hogy két adott világpont között az ∫ds vonal menti integrál akkor maximális, ha e két pontot összekötő egyenes mentén integrálunk. [2]



[2] Természetesen mindig feltételezzük, hogy ezek a pontok és a pontokat összekötő vonalak olyanok, hogy minden ds vonalelem időjellegű.

Az integrál fent kimutatott tulajdonsága a négydimenziós geometria pszeudoeuklideszi voltával kapcsolatos. Euklideszi térben az egyenes vonal mentén vett integrál természetesen minimális lenne.