Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

5 §. Sebességek transzformációja

5 §. Sebességek transzformációja

Az előző fejezetben sikerült levezetnünk azokat a képleteket, melyek lehetővé teszik, hogy egy esemény valamilyen inerciarendszerben adott koordinátáiból kiszámítsuk egy másik rendszerbeli koordinátáit. Most meghatározzuk egy mozgó részecske különböző inerciarendszerben érvényes sebességkomponenseinek összefüggéseit.

Válasszuk ismét úgy a K és K′ inerciarendszert, hogy a K′ a K rendszerhez képest V sebességgel mozogjon az x tengely mentén. Legyen vx=dx∕dt a részecske sebességének x komponense a K rendszerben, vx′=dx′∕dt′ pedig e részecske sebességének x komponense a K′ rendszerben. (4.3) szerint:

d x = d x + V d t 1 V 2 c 2 , d y = d y , d z = d z , d t = d t + V c 2 d x 1 V 2 c 2 .

Elosztva az első három egyenletet a negyedikkel, továbbá bevezetve a

v = d r d t , v’ = d r d t

jelöléseket, azt kapjuk, hogy

1.18. egyenlet - (5.1)

v x = v x + V 1 + v x V c 2 , v y = v y 1 V 2 c 2 1 + v x V c 2 , v z = v z 1 V 2 c 2 1 + v x V c 2 .

Ezek a képletek határozzák meg a sebesség transzformációját. (5.1) a sebességösszetevés szabálya a speciális relativitáselméletben. A c→∞ határesetben azt kapjuk, hogy vx=vx′+V, vy=vy′, vz=vz′.

Speciálisan, ha a részecske mozgása az x tengellyel párhuzamos, vx=v, vy=vz=0, azt kapjuk, hogy vy′=vz′=0, vx′=v′és

1.19. egyenlet - (5.2)

v = v + V 1 + v V c 2 .

Könnyű belátni, hogy amíg az összetevő sebességek kisebbek a fénysebességnél, vagy azzal egyenlőek, az eredő sebesség sem lehet nagyobb a fénysebességnél.

A fénysebességnél jóval kisebb V sebességértékek esetén (tetszőleges v mellett) V∕c szerint sorba fejthetünk. Első rendben azt kapjuk, hogy

v x = v x + V ( 1 v x 2 c 2 ) , v y = v y v x v y V c 2 , v z = v z v x v z V c 2 .

Ezeket az egyenlőségeket vektorjelölést használva, a

1.20. egyenlet - (5.3)

v = v + V 1 c 2 ( V v ) v

alakban foglalhatjuk össze.

Figyeljük meg, hogy a sebesség-összeadás (5.1) relativisztikus törvényében a v′ és V összetevő sebességek nem szimmetrikusan szerepelnek (hacsak nem mindkettő az x tengellyel párhuzamos). Ez a körülmény természetes kapcsolatban van a Lorentz-transzformációknak az előző szakaszban említett nem felcserélhető voltával.

Válasszuk meg most úgy a koordinátákat, hogy valamely adott pillanatban a részecske sebessége az xy síkban legyen. Ekkor a K rendszerben a részecske sebességkomponensei vx=vcos𝜃 és vy=vsin𝜃, a K′ rendszerben pedig vx′=v′cos𝜃′ és vy′=v′sin𝜃′ (v, v′és 𝜃, 𝜃′ a sebességek abszolút értékei, illetve az x és x′ tengellyel bezárt szögeinek értékei a K és K′ rendszerben). Az (5.1) képlet segítségével azt kapjuk, hogy

1.21. egyenlet - (5.4)

tg 𝜃 = v 1 V 2 c 2 sin 𝜃 v cos 𝜃 + V .

Ez a képlet megadja a sebesség irányának változását egyik vonatkoztatási rendszerről egy másikra való áttérés során.

Fontos speciális esetként vizsgáljuk meg a fényaberrációt: hogyan változik meg a fény terjedésének iránya, ha egy adott vonatkoztatási rendszerről egy másikra térünk át? Ebben az esetben v=v′=c, és igy a fenti képlet

1.22. egyenlet - (5.5)

tg 𝜃 = 1 V 2 c 2 V c + cos 𝜃 sin 𝜃 .

alakú.

Az (5.1) összefüggésekből kiindulva, könnyen megkaphatjuk a sin𝜃-ra és a cos𝜃-ra vonatkozó transzformációs képleteket is:

1.23. egyenlet - (5.6)

sin 𝜃 = 1 V 2 c 2 1 + V c cos 𝜃 sin 𝜃 , cos 𝜃 = cos 𝜃 + V c 1 + V c cos 𝜃 .

V≪c esetben az (5.6) egyenletekből, V∕c szerint első rendben adódik, hogy

sin 𝜃 sin 𝜃 = V c sin 𝜃 cos 𝜃 .

Bevezetve a Δ𝜃=𝜃′–𝜃 (aberrációs szög) jelölést, ugyancsak első rendben:

1.24. egyenlet - (5.7)

Δ 𝜃 = V c sin 𝜃 ,

ami nem más, mint a fényaberrációra vonatkozó ismert elemi képlet.