Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

7 §. Négyessebesség

7 §. Négyessebesség

A sebesség szokásos háromdimenziós vektorából négyesvektort is képezhetünk. A részecskének ilyen négydimenziós sebessége (négyessebessége) az

1.44. egyenlet - (7.1)

u i = d x i d s

vektor. E vektor komponenseinek meghatározása végett emlékeztetünk, hogy (3.1) szerint

ds=cdt1v2c2,

ahol v a részecske közönséges háromdimenziós sebessége. Ezért

u1=dx1ds=dxcdt1v2c2=vxc1v2c2

stb., tehát

1.45. egyenlet - (7.2)

u i = 1 1 v 2 c 2 , v 1 v 2 c 2 .

Megjegyezzük, hogy a négyessebesség dimenziótlan mennyiség.

A négyessebesség komponensei nem függetlenek. Figyelembe véve, hogy dxidxi=ds2, azt kapjuk, hogy

1.46. egyenlet - (7.3)

u i u i = 1 .

Geometriai szempontból ui a részecske világvonalának négyes érintő egységvektora.

A négyessebesség definíciójához hasonlóan, a

w i = d 2 x i d s 2 = d u i d s

második deriváltat négyesgyorsulásnak nevezhetjük. (7.3)-at differenciálva, kapjuk, hogy

1.47. egyenlet - (7.4)

u i w i = 0 .

azaz a négyessebesség és a négyesgyorsulás merőlegesek egymásra.

Feladatok

Vizsgáljuk a relativisztikus egyenletesen gyorsuló mozgást, vagyis azt az egyenes vonalú mozgást, amelynek w négyesgyorsulása saját vonatkoztatási rendszerben (minden időpillanatban) állandó marad.

Megoldás. Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske sebessége v=0, a négyesgyorsulás komponensei wi=(0,(w/c2),0,0)(w a közönséges háromdimenziós gyorsulás az x tengely mentén). Az egyenletes gyorsulás relativisztikus invariáns feltétele, hogy a saját rendszerben a w2-tel egyenlő – c4wiwi négyesskalár állandó legyen:

w i w i = c o n s t w 2 c 4 .

A „nyugvó” vonatkoztatási rendszerben, amelyben a mozgást vizsgáljuk, a wiwi, összegezést elvégezve, a

d d t v 1 v 2 c 2 = w vagy v 1 v 2 c 2 = w t + c o n s t

egyenletekhez jutunk. t=0-ban v=0-t véve, azt kapjuk, hogy const=0, tehát

v = w t 1 + w 2 t 2 c 2 .

Még egyszer integrálva, és feltéve, hogy t=0-ban x=0, az

x = c 2 w 1 + w 2 t 2 c 2 1 .

eredmény adódik. wt≪c esetén ezek a képletek átmennek a klasszikus v=wt, x=wt2∕2 kifejezésekbe. wt→∞ esetén a sebesség az állandó c értékhez tart.

Az egyenletesen gyorsuló mozgást végző részecske sajátidejét az

0 t 1 v 2 c 2 d t = c w arsh w t c

integrál adja. Ezt t→∞ esetén t-nél lényegesen lassabban, a (c/w)ln(2wt/c) képlet szerint tart végtelenhez.