Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

2. fejezet - RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

2. fejezet - RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

8 §. A legkisebb hatás elve

Az anyagi részek mozgásának vizsgálata során a legkisebb hatás elvéből indulunk ki. Ez az elv, mint ismeretes, azt mondja ki, hogy minden mechanikai rendszerhez hozzárendelhetünk egy olyan S integrált, a hatást, amely a ténylegesen végbemenő mozgások esetében minimális, következésképpen δS variációja zérus.[12]

Határozzuk meg olyan szabad anyagi részecske hatásintegrálját, melyre semmilyen külső erő sem hat.

Először is megjegyezzük, hogy a hatásintegrál független az inerciarendszer megválasztásától, azaz a hatás a Lorentz-transzformációkkal szemben invariáns. Ebből már következik, hogy a hatás szükségképpen skalár mennyiség. Világos továbbá az is, hogy az integrálban a differenciáloknak csak az első hatványai szerepelhetnek. A szabad mozgást végző anyagi ponthoz rendelhető egyetlen skalár a ds ívelem vagy az αds mennyiség, ahol α valamilyen állandó.

A szabad részecske hatásintegrálja tehát

S = α a b d s

alakú, és az integrált két adott, a és b esemény közötti világvonal mentén kell venni. Az események: a részecske egy adott t1 pillanatban a kezdőpontban, t2-ben pedig a végpontban van, azaz ∫ab két adott világpontot összekötő világvonal mentén vett integrálást jelent; α valamely, az adott részecskére jellemző állandó. Könnyen beláthatjuk, hogy α minden részecskére pozitív. Valóban, a 3. §-ban megmutattuk, hogy az ∫abds integrálnak egyenes világvonal mentén van maximuma; görbe világvonal mentén integrálva, az ∫abds tetszőlegesen kicsivé tehető.

A pozitív előjellel vett integrálnak tehát nem lehet minimuma; az ellentétes előjellel vett integrálnak van minimuma, mégpedig egyenes világvonal mentén.

A hatást idő szerinti integrál alakjában is megadhatjuk:

S = t 1 t 2 L d t .

dt előtt álló L együttható, mint ismeretes, az adott mechanikai rendszer Lagrange- függvénye.(3.1) segítségével azt kapjuk, hogy

S = t 1 t 2 α c 1 v 2 c 2 d t ,

ahol v a részecske sebessége. Tehát a részecske Lagrange-függvénye

L = α c 1 v 2 c 2 .

Mint már említettük, α a részecskét jellemző állandó. A klasszikus mechanikában minden egyes részecskét m tömege jellemez. Határozzuk meg α és m kapcsolatát. Ezt az összefüggést abból a feltételből nyerhetjük, hogy c→∞ esetén az L-re kapott kifejezés az L=mv2∕2 klasszikus kifejezésbe megy át.

E határátmenet elvégzésére L-et v∕c hatványai szerint sorba fejtjük. A magasabb rendű tagokat elhagyva, az

L = α c 1 v 2 c 2 α c + α v 2 2 c

kifejezést kapjuk.

A Lagrange-függvényhez egy állandót hozzáadva, a mozgásegyenletek nem változnak meg, ezért az állandó tagot elhagyhatjuk. L-ben elhagyva az állandó –αc tagot, és összehasonlítva L-et a klasszikus L=mv2∕2 kifejezéssel, azt találjuk, hogy α=mc.

A szabad anyagi pont hatása tehát:

2.1. egyenlet - (8.1)

S = m c a b d s ,

a Lagrange-függvény pedig:

2.2. egyenlet - (8.2)

L = m c 2 1 v 2 c 2 .



[12] Szigorú értelemben a legkisebb hatás elve azt mondja ki, hogy az S integrálnak csupán az integrálási kontúr kis darabjai mentén kell minimálisnak lennie. Tetszőlegesen hosszú vonalak mentén vett integrálra csak annyit mondhatunk, hogy S-nek extrémuma van, ami nem jelent okvetlenül minimumot (lásd az I. kötet 2. §-át).