Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

10 §. Eloszlásfüggvények transzformációi

10 §. Eloszlásfüggvények transzformációi

Fizikai feladatokban gyakran van dolgunk különböző impulzusú részecskék nyalábjával. Egy ilyen nyaláb összetételét, impulzusspektrumát a részecskék impulzus szerinti eloszlásfüggvénye jellemzi: f(p) dpxdpydpz megadja azoknak a részecskéknek a számát, amelyeknek impulzuskomponensei az adott dpx, dpy, dpz tartományba (vagy ahogy a rövidség kedvéért mondani szokás, az „impulzustér” d3p≡ dpxdpydpz nagyságú térfogatelemébe) esnek. Ezzel kapcsolatban felmerül a kérdés, hogyan transzformálódik az f(p) eloszlásfüggvény egyik vonatkoztatási rendszerről egy másikra térve.

A kérdés megválaszolására először tisztázzuk a dpxdpydpz „térfogatelem” Lorentz-transzformációval szemben mutatott transzformációs tulajdonságait. Ha olyan négydimenziós koordináta-rendszert vezetünk be, amelynek tengelyeire a négyesimpulzus komponenseit mérjük fel, akkor a dpxdpydpz-t a pipi=mc2 egyenlettel definiált hiperfelületben levő elem negyedik komponensének tekinthetjük. A hiperfelületbeli elemet olyan négyesvektor reprezentálja, amely merőleges a hiperfelületre. Az adott esetben a normális iránya nyilvánvalóan a pi négyesvektor irányával egyezik meg. Ebből következik, hogy a

2.23. egyenlet - (10.1)

d p x d p y d p z

hányados, mint két párhuzamos négyesvektor két azonos komponensének hányadosa, invariáns mennyiség.[15]

Nyilvánvalóan az fdpxdpydpz, a d3p-ben levő részecskék száma, is invariáns, független a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. Ha ezt az

f ( p ) d p x d p y d p z

alakba írjuk, és figyelembe vesszük a (10.1) hányados invariáns tulajdonságát, láthatjuk, hogy az f(p)ℰ szorzat invariáns. Ebből viszont következik, hogy ha egy K rendszerben ismerjük az eloszlásfüggvényt, akkor a K′rendszer eloszlásfüggvényét az

2.26. egyenlet - (10.2)

f ( p ) = f ( p )

képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol p-t és ℰ ki kell még fejeznünk p′-vel és ℰ′(9.15) transzformációs szabályok segítségével.

Térjünk vissza a (10.1) invariáns elemhez. Ha az impulzustérben gömbi polárkoordinátákat használunk, akkor a dpxdpydpz térfogatelem p2dpdΩ alakú lesz, ahol dΩ a p vektor irányában levő térszögelem. Figyelembe véve, hogy [(9.6)-nak megfelelően] pdp=ℰdℰ∕c2, az adódik, hogy

p 2 d p d Ω = p d d Ω c 2 .

Eredményünk tehát az, hogy a

2.27. egyenlet - (10.3)

p d d Ω

mennyiség is invariáns.

Egészen más szerepet játszik az eloszlásfüggvény a kinetikus gázelméletben: az f(r,p) dpxdpydpzdV szorzat az adott dV térfogatban, adott dpx, dpy, dpz impulzustartományba eső részecskék számát adja meg. Az f(r,p) függvényt a fázistér (ez a részecske koordinátáinak és impulzusainak tere) eloszlásfüggvényének, a dτ=d3pdV differenciálok szorzatát pedig a fázis térfogatelemének nevezzük. Állapítsuk meg a függvény transzformációs tulajdonságait.

A két, K és K′ vonatkoztatási rendszer mellett még egy olyan K0 rendszert is bevezetünk, amelyben a vizsgált impulzusú részecskék nyugalomban vannak; az adott részecskék által elfoglalt dV0 saját-térfogatelemet éppen a K0 rendszerhez viszonyítva definiáljuk. A K és K′ rendszerek K0-hoz viszonyított sebességei definíciószerűen megegyeznek a részecskék K és K′ rendszerekben mért v és v′ sebességeikkel. (4.6) szerint ezért azt kapjuk, hogy

d V = d V 0 1 v 2 c 2 , d V = d V 0 1 v 2 c 2 ,

amiből

d V d V = .

Ezt az egyenletet a d3p∕d3p′=ℰ∕ℰ′ egyenlőséggel szorozva, azt találjuk, hogy

2.28. egyenlet - (10.4)

d τ = d τ ,

azaz a fázistérfogat-elem invariáns. Minthogy az fdτ részecskeszám definíciószerűen szintén invariáns, arra a következtetésre jutunk, hogy a fázistérben adott eloszlásfüggvény invariáns:

2.29. egyenlet - (10.5)

f ( r , p ) = f ( r , p ) ,

ahol r′, p′ az r-rel és p-vel a Lorentz-transzformáció képletei segítségével fejezhetők ki.



[15] Az integrálást a (10.1) elem szerint δ-függvény (lásd a  28. §  4 számú lábjegyzetét) segítségével nyilvánvalóan kovariáns alakban is megadhatjuk:

2.24. egyenlet - (10.1a)

2cδ(pipim2c2)d4p,d4p=dp0dp1dp2dp3.


Itt a pi négy komponensét független változóknak tekintjük (p0 csak pozitív értékeket vehet fel). A (10.1a) képlet egyszerűen következik a benne szereplő δ-függvényre érvényes alábbi azonosságból:

2.25. egyenlet - (10.1b)

δ(pipim2c2)=δp022c2=c2δp0+c+δp0c


ahol ℰ=c√(p2+m2c2). Ez az azonosság a  28. §  4 számú lábjegyzetének (5) képletéből következik.