Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

12 §. Invariáns hatáskeresztmetszet

12 §. Invariáns hatáskeresztmetszet

Mint ismeretes, a különböző szórási folyamatokat a hatáskeresztmetszetekkel jellemezzük. Ezek adják meg az ütköző részecskenyalábokban végbemenő ütközések számát.

Tekintsünk két ütköző nyalábot; jelöljük a nyalábok részecskesűrűségeit (azaz az, egységnyi térfogatban levő részecskék számát) n1-gyel és n2-vel; a részecskék sebességét pedig v1-gyel és v2-vel. Abban a rendszerben, amelyben a 2. nyaláb részecskéi nyugszanak (vagy mint röviden mondani szokás, a 2. részecske nyugalmi rendszerében), az 1. részecskék nyalábja egy mozdulatlan céltárggyal ütközik. Ilyenkor a σ hatáskeresztmetszet szokásos definíciója szerint a dV térfogatban dt idő alatt végbemenő ütközések száma:

d ν = σ v rel n 1 n 2 d V d t ,

ahol vrel az 1. részecske sebessége a 2. részecske nyugalmi rendszerében (a relativisztikus mechanikában éppen így definiáljuk két részecske relatív sebességét).

dν szám magától értetődően invariáns mennyiség. A következőkben dν-t minden vonatkoztatási rendszerben érvényes alakban fejezzük ki. Írhatjuk, hogy

2.38. egyenlet - (12.1)

d ν = A n 1 n 2 d V d t ,

ahol A meghatározandó mennyiség, amelyről azonban tudjuk, hogy az egyik részecske nyugalmi rendszerében vrelσ-val egyenlő. Ilyenkor σ mindig az egyik részecske nyugalmi rendszerében vett hatáskeresztmetszetet jelenti, ami a definíció szerint invariáns mennyiség. Definíciószerűen invariáns a vrel relatív sebesség is.

(12.1) kifejezésben a dVdt szorzat invariáns. Ezért az An1n2 szorzatnak is invariánsnak kell lennie.

Az n részecskesűrűség transzformációs szabályát könnyű kitalálni, ha figyelembe vesszük, hogy az adott dV térfogatelemben levő részecskék ndV száma invariáns. Ezt ndV=n0dV0 alakban írva (a 0 index a részecskék nyugalmi rendszerét jelöli), és felhasználva a térfogatelem transzformációját megadó (4.6) képletet, az kapjuk, hogy

2.39. egyenlet - (12.2)

n = n 0 1 v 2 ,

vagy n=n0ℰ∕m, ahol ℰ a részecskék energiája, m a tömegük.

Így az az állítás, hogy az An1n2 szorzat invariáns, ekvivalens azzal, hogy az Aℰ1ℰ2 kifejezés invariáns. Még előnyösebb ezt a feltételt az alábbi formában kifejezni:

2.40. egyenlet - (12.3)

A 1 2 p 1 i p 2 i = A 1 2 1 2 p 1 p 2 = inv ,

ahol a nevezőben a két részecske négyesimpulzusának szorzata, egy invariáns mennyiség áll.

A 2. részecske nyugalmi rendszerében ℰ2=m2,p2=0, úgyhogy (12.3)-ban A marad. Másrészről ebben a rendszerben A=σvrel. Tehát bármely rendszerben

2.41. egyenlet - (12.4)

A = σ v rel p 1 i p 2 i 1 2 .

E kifejezés végleges alakjának meghatározása céljából fejezzük ki a vrel sebességet a részecske tetszőleges vonatkoztatási rendszerben vett impulzusával vagy sebességével. Vegyük észre, hogy a 2. részecske nyugalmi rendszerében

p 1 i p 2 i = m 1 1 v rel 2 m 2 .

Innen

2.42. egyenlet - (12.5)

v rel = 1 m 1 2 m 2 2 ( p 1 i p 2 i ) 2 .

p1ip2i=ℰ1ℰ2–p1p2 mennyiséget a (9.1) és (9.4) képletek segítségével kifejezzük a v1 és v2 sebességekkel:

p 1 i p 2 i = m 1 m 2 1 v 1 v 2 ( 1 v 1 2 ) ( 1 v 2 2 ) .

Ezt (12.5)-be helyettesítve, egyszerű algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy

2.43. egyenlet - (12.6)

v rel = ( v 1 v 2 ) 2 ( v 1 × v 2 ) 2 1 v 1 v 2 .

(Figyeljük meg, hogy a vrel-re kapott kifejezés szimmetrikus v1-ben és v2-ben, azaz a relatív sebesség értéke nem függ attól, hogy melyik részecskéhez viszonyítva definiáljuk.)

(12.5)-öt vagy (12.6)-ot (12.4)-be, majd az így kapott kifejezést (12.1)-be helyettesítve, a kitűzött feladat megoldását jelentő végleges alakot kapjuk:

2.44. egyenlet - (12.7)

d ν = σ ( p 1 i p 2 i ) 2 m 1 2 m 2 2 1 2 n 1 n 2 d V d t ,

vagy

2.45. egyenlet - (12.8)

d ν = σ ( v 1 v 2 ) 2 ( v 1 × v 2 ) 2 n 1 n 2 d V d t

(W. Pauli, 1933).

Ha a sebességek egyirányúak, akkor v1×v2=0, ezért a (12.8) képlet a

2.46. egyenlet - (12.9)

d ν = σ | v 1 v 2 | n 1 n 2 d V d t

kifejezésbe megy át.

Feladat

Határozzuk meg a relativisztikus „sebességtérben” a „hosszelemet”!

Megoldás. A keresett dlv, „hosszelem” két, v és v+dv sebességű pont relatív sebessége. Ezért (12.6) szerint

d l v = ( d v ) 2 ( v × d v ) 2 ( 1 v 2 ) 2 = d v 2 ( 1 v 2 ) 2 + v 2 ( 1 v 2 ) 2 ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) ,

ahol 𝜃 és φ, a v irány poláris és azimutális szöge. Vezessünk be a v sebesség helyett a v=thχ egyenlőséggel definiált új χ változót. Ezzel a hosszelem a

d l v 2 = d χ 2 + sh 2 χ ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 )

alakban írható.

Geometriai szempontból ez egy háromdimenziós Bolyai–Lobacsevszkij-térbeli, tehát állandó negatív görbületű térben vett hosszelem [lásd a (111.8) képletet].