Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

17 §. Töltés mozgásegyenlete elektromágneses térben

17 §. Töltés mozgásegyenlete elektromágneses térben

Nemcsak az erőtér gyakorol hatást a benne elhelyezkedő töltésre, az is visszahat az erőtérre (mezőre), megváltoztatja azt. Ha azonban az e töltés nem nagy, akkor az erőtérre való hatása elhanyagolható. Ebben az esetben az adott erőtérben való mozgást vizsgálva, feltehetjük, hogy az erőtér maga nem függ a töltés koordinátáitól és sebességétől. A pontos feltételeket, amelyeket a töltésnek ki kell elégítenie ahhoz, hogy az említett értelemben kicsinek tekinthessük, a későbbiekben fogalmazzuk meg (75. §). Az alábbiakban úgy vesszük, hogy ezek a feltételek teljesülnek.

Fel kell írnunk egy töltés mozgásegyenleteit elektromágneses térben. Az egyenletek a hatásfüggvény variációjával adódnak, azaz a

3.12. egyenlet - (17.1)

d d t L v = L r

Lagrange-egyenletekből, L-et a (16.4) képlet határozza meg.

∂L∕∂v differenciálhányados a részecske (16.5) általános impulzusa. Másrészt

L r L = e c grad A v e grad φ .

De a vektoranalízisből ismert összefüggés szerint

grad a b = ( a ) b + ( b ) a + b × rot a + a × rot b ,

ahol a és b tetszőleges két vektor. Ezt az összefüggést Av-re alkalmazva, és figyelembe véve, hogy az r szerinti differenciálást állandó v mellett kell végezni, a következőket írhatjuk:

L r = e c ( v ) A + e c v × rot A e grad φ .

A Lagrange-egyenlet tehát a következő alakot ölti:

d d t p + e c A = e c ( v ) A + e c v × rot A e grad φ .

A (∂A/∂t)dt teljes differenciál két részből tevődik össze: a vektorpotenciál (∂A/∂t)dt időbeli változásából egy adott pontban és a tér egyik pontjából a dr távolságra levő másik pontjába való átmenet következtében történő megváltozásból. Ez utóbbi (dr∇)A. Így

d A d t = A t + ( v ) A .

Ezt a fenti egyenletbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

3.13. egyenlet - (17.2)

d p d t = e c A t e grad φ + e c v × rot A .

Ez az elektromágneses térben mozgó töltés mozgásegyenlete. A bal oldalon a részecske impulzusának időderiváltja áll. Következésképpen (17.2) jobb oldala a töltésre elektromágneses térben ható erő. Látható, hogy az utóbbi két részből áll. Az egyik rész [(17.2) jobb oldalának első két tagja] független a részecske sebességétől. A másik rész (harmadik tag) függ tőle; arányos a sebesség nagyságával, irányára pedig merőleges.

Az egységnyi töltésre ható első fajta erőt elektromos térerősségnek nevezzük, és E-vel jelöljük. Így tehát a definíció szerint:

3.14. egyenlet - (17.3)

E = 1 c A t grad φ .

Az egységnyi töltésre ható második fajta erőben a sebesség, pontosabban a v∕c mellett álló tényezőt mágneses térerősségnek nevezzük, és H-val jelöljük.

A definíció szerint tehát

3.15. egyenlet - (17.4)

H = rot A .

Ha az elektromágneses térben E≠0, de H=0, akkor elektromos térről; ha E=0, de H≠0, akkor mágneses térről beszélünk. Általános esetben az elektromágneses tér az elektromos és a mágneses tér együttese. Megjegyezzük, hogy E poláris, H pedig axiális vektor.

Az elektromágneses térben levő töltés mozgásegyenlete most

3.16. egyenlet - (17.5)

d p d t = e E + e c v × H .

alakban írható. A jobb oldalon álló kifejezést Lorentz-erőnek nevezzük. Egyik része a töltésre elektromos térben ható erő, mely független a töltés sebességétől, és E irányába mutat. A második rész, a töltésre mágneses térben ható erő, arányos a töltés sebességével, erre és H irányára merőleges.

A fénysebességhez képest kis sebességeknél a p impulzus közelítőleg a klasszikus mv kifejezéssel egyenlő, a (17.5) egyenlet a következőbe megy át:

3.17. egyenlet - (17.6)

m d v d t = e E + e c v × H .

Felírjuk még a részecske kinetikus energiájának[24] időbeli változását meghatározó egyenletet. A megváltozás az időegység alatt:

d kin d t = d d t m c 2 1 v 2 c 2 .

Könnyen meggyőződhetünk, hogy

d kin d t = v d p d t ;

d p ∕dt-t (17.5)-ből helyettesítve, és észrevéve, hogy (v×H)v=0, azt kapjuk, hogy

3.18. egyenlet - (17.7)

d kin d t = e E v .

A kinetikus energia időbeli változása az erőtérnek (mezőnek) a töltésen (időegység alatt) végzett munkája. (17.7)-ből látható, hogy ez a munka a töltés sebességének és az elektromos tér által reá ható erőnek a szorzatával egyenlő. A tér által dt idő alatt, azaz a töltés dr-rel való elmozdítása során végzett munka eEdr.

Hangsúlyozzuk, hogy mozgó töltésen csak az elektromos tér végez munkát, a mágneses tér nem. Ez utóbbi azzal függ össze, hogy mágneses térben a részecskére ható erő mindig merőleges a részecske sebességére.

A mechanika egyenletei invariánsak az idő előjelének megváltoztatásával, azaz a jövő és a múlt cseréjével szemben. Más szóval, a mechanikában a két időirány egyenértékű. Ha tehát a mechanika egyenletei szerint valamilyen mozgás létrejöhet, akkor a fordított mozgás is lehetséges, amelynek során a rendszer ugyanazokon az állapotokon fordított sorrendben megy keresztül.

Könnyen belátható, hogy ugyanez a helyzet az elektromágneses térben a relativitáselmélet szerint is. A t→–t helyettesítés mellett azonban a mágneses térerősség előjelét is meg kell változtatni. Valóban, a (17.5) mozgásegyenletek nem változnak a

3.19. egyenlet - (17.8)

t t , E E , H H

helyettesítés során.

Emellett a (17.3) és a (17.4) képletek szerint a skalárpotenciál nem változik, a vektorpotenciál előjelet vált:

3.20. egyenlet - (17.9)

φ φ , A A .

Ha tehát az elektromágneses térben létrejöhet valamilyen mozgás, akkor H-val ellentétes irányú mágneses térben létrejöhet a fordított mozgás.

Feladat

Fejezzük ki a részecske gyorsulását sebességével, valamint az elektromos és mágneses térerősséggel.

Megoldás. Végezzük el a (17.5) mozgásegyenletben a p=vℰkin∕c2 helyettesítést, dℰkin∕dt-t pedig fejezzük ki (17.7)-ből. A következő eredményt kapjuk:

v ̇ = e m 1 v 2 c 2 E + 1 c v × H 1 c 2 v ( v E ) .



[24] „Kinetikus” energián itt és a továbbiakban a nyugalmi energiát magában foglaló (9.4) energiát értjük.