Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

18 §. Mértékinvariancia

18 §. Mértékinvariancia

Vizsgáljuk most azt, mennyire egyértelmű a potenciál meghatározása. Figyelembe kell venni, hogy a teret az a hatás jellemzi, amelyet a benne mozgó töltésre gyakorol. A (17.5) mozgásegyenletekbe azonban nem a potenciálok, hanem az E és H térerősségek szerepelnek. Ezért két tér fizikailag ekvivalens, ha ugyanazok az E és H vektorok jellemzik azokat.

Ha az A és φ potenciálok adottak, akkor ezek (17.3) és (17.4) szerint E-t és H-t, tehát az erőteret (mezőt) egyértelműen meghatározzák. Ugyanahhoz az erőtérhez azonban különböző potenciálok tartozhatnak. Hogy erről meggyőződjünk, adjunk a potenciál minden Ak összetevőjéhez egy –∂f∕∂xk mennyiséget, ahol f a koordináták és az idő tetszőleges függvénye. Az új potenciál ekkor:

3.21. egyenlet - (18.1)

A k = A k f x k .

E helyettesítés során a (16.1) hatásintegrálban egy további tag jelenik meg, amely

3.22. egyenlet - (18.2)

e c f x k d x k = d e c f .

teljes differenciálként írható, így nem befolyásolja a mozgásegyenleteket (lásd az I. kötet 2. §-át).

Ha a négydimenziós potenciál helyett bevezetjük a vektor- és a skalárpotenciált, az xi koordináták helyett pedig a ct,x,y,z négyest, akkor a (18.1) egyenletek a következő alakban írhatók:

3.23. egyenlet - (18.3)

A = A + grad f , φ = φ 1 c f t .

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a (17.3) és a (17.4) egyenletek által meghatározott elektromos és mágneses tér valóban nem változik A-nak és φ-nek A′-vel és φ′-vel való (18.3) helyettesítése során. Így a potenciál (18.1) transzformációja a mezőt nem változtatja meg. A potenciálok meghatározása ezért nem egyértelmű, a vektorpotenciál egy tetszőleges függvény gradiensének, a skalárpotenciál pedig ugyanezen függvény idő szerinti differenciálhányadosának erejéig határozatlan.

Speciálisan a vektorpotenciálhoz tetszőleges, állandó vektor, a skalárishoz pedig tetszőleges állandó adható. Ez közvetlenül látható abból, hogy E és H meghatározásában csak A és φ differenciálhányadosai fordulnak elő, ezért additív állandók a térerősségeket nem változtatják.

Fizikai jelentésük csak azoknak a mennyiségeknek van, amelyek a (18.3) potenciáltranszformációval szemben invariánsak, ezért minden egyenletnek invariánsnak kell lennie. Ezt hívják mértékinvarianciának (németül: Eichinwarianz, angolul: gauge invariance, oroszul: kalibrovocsnaja invariantnoszty).[25]

A potenciálok most leírt határozatlansága mindig lehetővé teszi olyan megválasztásukat, hogy kielégítsenek egy tetszőleges mellékfeltételt. Ehhez a (18.3)-ban szereplő tetszőleges f függvényt alkalmasan kell megválasztanunk. Speciálisan mindig elérhető, hogy a skalárpotenciál zérus legyen. A vektorpotenciál általában nem tűnhet el, mivel A=0 három mellékfeltételt jelent (A három komponensére).



[25] Hangsúlyozzuk, hogy az eredményben szerepet kap a (18.2)-ben levő e állandó. Így az elektrodinamika egyenleteinek mértékinvarianciája és a töltésmegmaradás szoros összefüggésben állnak.