Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

19 §. Sztatikus elektromágneses tér

19 §. Sztatikus elektromágneses tér

Állandónak (stacionáriusnak) nevezzük az elektromágneses teret, ha független az időtől. Nyilvánvaló, hogy az állandó erőtér potenciáljai megválaszthatók úgy, hogy csak a koordináták függvényei legyenek, az időé nem. Az állandó mágneses térerősség, mint korábban is: H=rotA. Az állandó elektromos térerősség:

3.24. egyenlet - (19.1)

E = grad φ .

Így tehát az állandó elektromos teret a skalár-, a mágnesest a vektorpotenciál határozza meg.

Az előző szakaszban láttuk, hogy a potenciálok megválasztása nem egyértelmű. Könnyű azonban meggyőződni arról, hogy ha az állandó elektromágneses teret időtől független potenciálok segítségével írjuk le, akkor a skalárpotenciálhoz csak egy tetszőleges (koordinátáktól és időtől független) állandó adható, ha nem akarjuk, hogy az erőtér változzék. Szokás φ-re olyan mellékfeltételt kiróni, amely azt követeli meg, hogy a tér meghatározott pontjában meghatározott értéket vegyen fel; leggyakrabban úgy választják meg φ-t, hogy a végtelenben eltűnjék. Ekkor az említett tetszőleges állandó már rögzített, és így az állandó erőtér skalárpotenciálja egyértelművé válik.

A vektorpotenciál ezzel ellentétben állandó elektromágneses tér esetén sem egyértelmű; hozzáadható a koordináták tetszőleges függvényének gradiense.

Meghatározzuk az állandó elektromágneses térben levő töltés energiáját. Ha az erőtér állandó, akkor a töltésre vonatkozó Lagrange-függvény sem függ az időtől. Mint ismeretes, az energia ekkor megmarad, és megegyezik a Hamilton-függvénnyel. (16.6) szerint:

3.25. egyenlet - (19.2)

= m c 2 1 v 2 c 2 + e φ .

Az erőtér (mező) jelenléte következtében tehát a részecske energiája az eφ taggal bővül, ez a részecske potenciális energiája az erőtérben. Megemlítjük azt a lényeges körülményt, hogy az energia csak a skalárpotenciáltól függ, a vektorpotenciáltól nem. Más szóval a mágneses tér nem befolyásolja a töltés energiáját, azt csak az elektromos tér változtathatja. Ez azzal függ össze, hogy a mágneses tér, az elektromossal ellentétben, a töltésen nem végez munkát.

Ha a térerősség az erőtér minden pontjában azonos, akkor homogén erőtérről beszélünk. A homogén elektromos tér skalárpotenciálja a térerősséggel a következő módon fejezhető ki:

3.26. egyenlet - (19.3)

φ = E r .

Valóban, E=const esetén grad(Er)=(E∇)r=E.

Homogén mágneses tér vektorpotenciálját a H mágneses térerősség segítségével az

3.27. egyenlet - (19.4)

A = 1 2 H × r

alakban írhatjuk. Valóban, H=const esetén a vektoranalízis ismert összefüggéseit használva:

rotH×r=Hdivr(H)r=2H.

(Emlékezzünk arra, hogy divr=3.)

A homogén mágneses tér vektorpotenciálja másképpen is megválasztható. Írhatjuk például, hogy

3.28. egyenlet - (19.5)

A x = H y , A y = A z = 0

(a z tengely H irányába mutat). Könnyű belátni, hogy ebben az esetben is teljesü a H=rotA egyenlőség. A (18.3) transzformációs képleteknek megfelelően a (19.4) és (19.5) potenciálok valamilyen függvény gradiensében különböznek egymástól. (19.4)-ből (19.5)-öt ∇f hozzáadásával kapjuk, ahol f=–(xyH/2).

Feladat

Írjuk fel a relativisztikus mechanikában a részecske pályájára vonatkozó variációs elvet (Maupertuis-elv) állandó elektromágneses térben!

Megoldás. A Maupertuis-elv azt mondja ki, hogy ha a részecske teljes energiája (az állandó erőtérben való mozgás során) megmarad, akkor pályája a

δ P d r = 0

variációs egyenletből határozható meg, ahol P a részecskének az energiával és a koordináták differenciálhányadosaival kifejezett általános impulzusa, az integrált pedig a pálya mentén kell kiszámítani (lásd az I. kötet 44. §-át). Behelyettesítve P=p+(e/c)A-t, és észrevéve, hogy p és dr iránya megegyezik, a

δ p d l + e c A d r = 0

egyenletre jutunk, ahol dl=√(dr2) az ívelem. p-t a p2+m2c2=(ℰ–eφ)2∕c2 egyenletből kifejezve, végül a következő eredményt kapjuk:

δ 1 c 2 ( e φ ) 2 m 2 c 2 d l + e c A d r = 0 .