Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

20 §. Mozgás homogén elektrosztatikus térben

20 §. Mozgás homogén elektrosztatikus térben

Vizsgáljuk meg az e töltés mozgását homogén állandó E elektromos térben. Mutasson a térerősség az x tengely irányába. A mozgás nyilvánvalóan síkmozgás. A mozgás síkját xy síknak választjuk. A (17.5) mozgásegyenletek most

x = e E , y = 0

alakúak (a pont az idő szerint képzett differenciálhányadost jelöli), ahonnan

3.29. egyenlet - (20.1)

p x = e E t , p y = p 0 .

Az időt abban a pillanatban kezdtük mérni, amikor px=0 volt; a részecske impulzusa akkor p0.

A részecske kinetikus energiája (a térbeli potenciális energia nélkül számított energia) ℰkin=c√(m2c2+p2). Esetünkben (20.1)-et helyettesítve:

3.30. egyenlet - (20.2)

kin = m 2 c 4 + c 2 p 0 2 + ( c e E t ) 2 = 0 2 + ( c e E t ) 2 ,

ahol ℰ0 az energia a t=0 időpontban.

A részecske sebessége (9.8) szerint v=pc2∕ℰkin. A vx=ẋ sebességösszetevőre következésképpen

d x d t = p x c 2 kin = c 2 e E t 0 2 + ( c e E t ) 2

adódik. Integrálás után:

3.31. egyenlet - (20.3)

x = 1 e E 0 2 + ( c e E t ) 2

(az integrációs állandót 0-nak vettük).[26]y-t a

d y d t = p y c 2 kin = p 0 c 2 0 2 + ( c e E t ) 2

egyenletből számíthatjuk. Innen

3.32. egyenlet - (20.4)

y = p 0 c e E arsh c e E t 0 .

A pálya egyenletét úgy kapjuk, hogy t-t (20.4)-ből y segítségével kifejezzük, és (20.3)-ba helyettesítjük. Így adódik, hogy

3.33. egyenlet - (20.5)

x = 0 e E ch e E y p 0 c .

A töltés tehát homogén elektromos térben láncgörbén mozog.

Ha a részecske sebessége v≪c, akkor p0=mv0, ℰ0=mc2 írható; (20.5)-öt 1∕c hatványai szerint sorba fejtve, első közelítésben a következőt kapjuk:

x = e E 2 m v 0 2 y 2 + c o n s t ,

azaz a töltés parabolapályán mozog, ami a klasszikus mechanikából jól ismert eredmény.



[26] Az eredmény (p0=0 esetén) megegyezik az állandó w0=(eE/m) „sajátgyorsulással” végbemenő relativisztikus mozgás feladatának megoldásával (lásd a 7. § feladatát). Az adott esetben az állandó gyorsulás azzal függ össze, hogy az elektromos tér a térerősség irányába mutató V sebességű Lorentz-transzformáció során nem változik (lásd a 24. §-t).