Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

23 §. Az elektromágneses térerősségtenzor

23 §. Az elektromágneses térerősségtenzor

17. §-ban levezettük a töltés mozgásegyenleteit a háromdimenziós alakban felírt (16.4) Lagrange-függvényből kiindulva. Ugyanezt tesszük most közvetlenül, a négydimenziós jelölésekkel felírt (16.1) hatásfüggvény felhasználásával.

A legkisebb hatás elve szerint

3.56. egyenlet - (23.1)

δ S = δ a b m c d s e c A i d x i = 0 .

Kihasználva, hogy ds=√(dxidxi), a következőket írhatjuk (az integrálás a, b határait a továbbiakban a rövidség kedvéért nem írjuk ki):

δS=mcdxidδxids+ecAidδxi+ecδAidxi=0.

Az első két tagban parciálisan integrálunk. Az első tagban bevezetjük a dxi∕ds=ui négyessebességet. Ekkor

3.57. egyenlet - (23.2)

m c d u i δ x i + e c δ x i d A i e c δ A i d x i m c u i + e c A i δ x i = 0 .

Az egyenlőség második tagja zérus, mivel a végpontokban a variáció eltűnik. Továbbá

δAi=Aixkδxk,dAi=Aixkdxk,

ezért

mcduiδxi+ecAixkδxidxkecAixkdxiδxk=0.

Az első tagban a dui=(dui/ds) ds, a másodikban és harmadikban a dxi=uids átalakítást végezzük, a harmadikban felcseréljük az i és k indexeket (ezekre összegeznünk kell, így a csere semmit sem változtat). Végül is

mcduidsecAkxiAixkukδxids=0.

δxi tetszőleges, ezért az integrandus eltűnik,

mcduids=ecAkxiAixkuk.

Bevezetjük az

3.58. egyenlet - (23.3)

F i k = A k x i A i x k

jelölést. Az antiszimmetrikus Fik tenzort az elektromágneses térerősségtenzornak nevezzük. Ezzel a kapott egyenlet a következő alakban írható:

3.59. egyenlet - (23.4)

m c d u i d s = e c F i k u k .

Ez a töltés négydimenziós alakban írt mozgásegyenlete.

Az Fik tenzor egyes komponenseinek jelentését könnyen tisztázhatjuk, ha (23.3)-ba beírjuk az Ai=(φ,–A) négyesvektort. Az eredmény táblázatban foglalható össze, az i=0,1,2,3 index a sorokat, a k az oszlopokat jelöli:

F i k = 0 E x E y E z E x 0 H z H y E y H z 0 H x E z H y H x 0 ,

3.60. egyenlet - (23.5)

F i k = 0 E x E y E z E x 0 H z H y E y H z 0 H x E z H y H x 0

Rövidebb alakban (lásd a  6. §-t):

Fik=(E,H),Fik=(E,H).

Így tehát az elektromos és mágneses tér komponensei ugyanannak a tenzornak, az elektromágneses tér négyestenzorának komponensei.

Háromdimenziós jelölésre áttérve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a (23.4) egyenlet térkomponensei (i=1,2,3) a (17.5) vektoriális mozgásegyenlettel, az időkomponens (i=0) a (17.7) munkaegyenlettel ekvivalens. Az utóbbi a mozgásegyenletek következménye. Az a tény, hogy a (23.4) egyenletek közül csak három független, közvetlenül is könnyen belátható, ha (23.4) mindkét oldalát ui-vel szorozzuk. Az egyenlőség bal oldala ekkor az ui és dui∕ds négyesvektorok ortogonalitása, a jobb oldal az Fik tenzor antiszimmetrikus volta következtében eltűnik.

Ha a δS variációban csak a valóságos pályákat tekintjük, akkor (23.2) első tagja azonosan eltűnik. A második tag, melyben a felső határt állandónak tartjuk, a hatás differenciálját adja a koordináták függvényeként. Így

3.61. egyenlet - (23.6)

δ S = m c u i + e c A i δ x i .

Ebből

3.62. egyenlet - (23.7)

S x i = m c u i + e c A i = p i + e c A i .

∂S∕∂xi négyesvektor a részecske Pi általános impulzusa. pi és Ai összetevőivel:

3.63. egyenlet - (23.8)

P i = kin + e φ c , p + e c A .

Ahogy azt vártuk, a négyesvektor térszerű összetevői az általános impulzus (16.5), háromdimenziós vektorát alkotják, az időszerű összetevő ℰ∕c, ahol ℰ a töltés teljes energiája a külső térben.