Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

4. fejezet - AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR EGYENLETEI

4. fejezet - AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR EGYENLETEI

26 §. Az első két Maxwell-egyenlet

A

H = rot A , E = 1 c A t grad φ

kifejezésekből könnyen kaphatunk csak E-t és H-t tartalmazó egyenleteket. Ennek érdekében határozzuk meg rotE-t:

rot E = 1 c t rot A rot grad φ .

Mivel azonban minden gradiens rotációja nulla, következésképpen

4.1. egyenlet - (26.1)

rot E = 1 c H t .

rotA=H egyenlet mindkét oldalának divergenciáját képezve, és emlékezve, hogy minden rotáció divergenciája nulla, azt kapjuk, hogy

4.2. egyenlet - (26.2)

div H = 0 .

(26.1) és (26.2) egyenletek alkotják az első két Maxwell-egyenletet.[30] Megjegyezzük, hogy e két egyenlet még nem határozza meg teljesen az erőtér (mező) tulajdonságait. Ez már abból is látható, hogy a mágneses térerősség időbeli változását (a ∂H∕∂t differenciálhányadost) meghatározzák, de a ∂E∕∂t differenciálhányadost nem.

(26.1) és (26.2) egyenletek integrál alakban is felírhatók. A Gauss-tétel szerint

div H d V = H d f ,

ahol a jobb oldali integrált a bal oldali integrációs térfogatot körülvevő zárt felületre kell képezni. (26.2) alapján

4.3. egyenlet - (26.3)

H d f = 0 .

Egy vektor valamilyen felületre vett integrálját a vektor e felületen keresztülfolyó áramának nevezzük. Így a mágneses tér minden zárt felületen keresztülfolyó árama zérus.

A Stokes-tétel szerint

rot E d f = E d l ,

ahol a jobb oldali integrált a bal oldali integrációs felületet határoló zárt görbére kell képezni. (26.1) mindkét oldalát valamilyen felületre integrálva kapjuk, hogy

4.4. egyenlet - (26.4)

E d l = 1 c t H d f .

Egy vektor valamilyen zárt görbére vett integrálját a vektor cirkulációjának nevezzük. Az elektromos tér cirkulációját az adott görbére vett elektromotoros erőnek is szokás nevezni. Valamilyen görbére vett elektromotoros erő így a mágneses tér (az adott görbe által határolt felületre képzett) fluxusának időderiváltjával arányos.

(26.1) és (26.2) Maxwell-egyenleteket négydimenziós jelölésekkel is felírhatjuk. Az elektromágneses tértenzor

F i k = A k x i A i x k

meghatározásából kiindulva, könnyen belátható, hogy

4.5. egyenlet - (26.5)

F i k x l + F k l x i + F l i x k = 0 .

Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés mindhárom indexében antiszimmetrikus harmadrendű tenor. Komponensei csak i≠k≠l esetén különböznek zérustól. Így összesen négy különböző egyenletet kapunk, amelyek, mint arról (23.5) felhasználásával könnyen meggyőződhetünk, a (26.1) és (26.2) egyenletekkel azonosak.

Harmadrendű antiszimmetrikus négyestenzor duális négyesvektorát úgy kapjuk, hogy a tenzort eiklm-mel szorozzuk, és három indexpárt összeejtünk (lásd a 6. §-t). Így (26.5) az

4.6. egyenlet - (26.6)

e i k l m F l m x k = 0

alakban írható, ami világosan mutatja, hogy négy független egyenletről van szó.



[30] A Maxwell-egyenleteket – az elektrodinamika alapegyenleteit – Maxwell az 1860-as években alkotta meg.