Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

27 §. Az elektromágneses tér hatásfüggvénye

27 §. Az elektromágneses tér hatásfüggvénye

Az elektromágneses tér és a benne mozgó részecskék együttes rendszerének S hatásfüggvénye három részből kell, hogy álljon:

4.7. egyenlet - (27.1)

S = S m + S r + S r m .

S r a hatásnak az a része, amely csak a részecske tulajdonságaitól függ, ez a szabad részecske hatásfüggvénye. Ennek értékét egy szabad részecskére nézve a (8.1) képlet adja meg. Több részecske hatásfüggvénye az egyes részecskék hatásfüggvényeinek összege. Így

4.8. egyenlet - (27.2)

S r = m c d s .

S r m a hatásnak az a része, amely a részecskék és a mező kölcsönhatásának felel meg. A  16. § szerint

4.9. egyenlet - (27.3)

S r m = e c A k d x k .

A k az összeg minden tagjában a mező potenciálját jelenti a mezőnek és az időnek abban a pontjában, amelyben a megfelelő részecske tartózkodik. Az Sr+Srm összeg a már ismert (16.1) hatást adja.

Végül Sm a hatásnak az a része, amely csak a mező (erőtér) tulajdonságaitól függ, azaz a töltések nélküli mező hatásfüggvénye. Mindaddig, amíg csak a töltésnek az adott elektromágneses térben végbemenő mozgását vizsgáltuk, Sm mint a részecskétől független mennyiség érdektelen volt, mivel ez a tag a részecske mozgásegyenleteit nem befolyásolja. Szükségessé válik azonban akkor, amikor magát a mezőt meghatározó egyenleteket keressük. Ennek felel meg az a körülmény, hogy az Sr+Srm hatásból csak a (26.1)(26.2) egyenletpárt kapjuk meg, ezek még nem elegendőek a mező teljes meghatározásához.

Az Sm, hatásfüggvény felírásához az elektromágneses tér (mező) következő nagyon fontos tulajdonságából indulunk ki. A tapasztalat azt mutatja, hogy az elektromágneses térre érvényes a szuperpozíció elve. Ez azt jelenti, hogy egy töltésrendszer által keltett eredő térerősség minden egyes pontban az egyes térerősségek (vektoriális) összege.

A téregyenletek minden megoldása megvalósulhat a természetben. A szuperpozíció elve szerint tetszőleges ilyen terek összege is megvalósulhat, azaz az összeg is mindenkor kielégíti a téregyenleteket.

Mint ismeretes, a lineáris differenciálegyenleteknek megvan az a tulajdonságuk, hogy tetszőleges megoldásaik összege is megoldás. A téregyenletek tehát szükségképpen lineáris differenciálegyenletek.

Az elmondottakból következik, hogy az Sm hatásfüggvényben az integráljel alatt a térerősség négyzetes kifejezésének kell szerepelnie. A hatás variációjaként adódó téregyenletek csak ebben az esetben lineárisak, ugyanis a variációnál az integrál alatt álló kifejezés fokszáma 1-gyel csökken.

Az Sm hatás kifejezésében nem szerepelhetnek a potenciálok, mivel azok meghatározása nem egyértelmű (Srm-ben a többértelműségnek nincs jelentősége). Sm ezért az Fik elektromágneses tértenzor valamilyen függvényének integrálja. A hatásnak skalárnak kell lennie, így az integrandus is szükségszerűen skalár. Egyedül az FikFik szorzat ilyen.[31]

Így Sm alakja a következő:

S m = a F i k F i k d V d t , d V = d x d y d z ,

ahol a koordináták szerint a teljes térre, az idő szerint két adott időpont közé eső tartományra kell integrálni; a valamilyen állandó. Az integrandus FikFik=2(H2–E2). Az E térerősség a ∂A∕∂t differenciálhányadost tartalmazza. Könnyen látható, hogy a hatásfüggvényben (∂A∕∂t)2 (és ezért E2) előjelének pozitívnak kell lennie. Valóban, ha (∂A∕∂t)2 előjele negatív lenne, akkor a potenciálnak (az adott időintervallumban) elég gyors időbeli változásával Sm mindig tetszőlegesen nagy abszolút értékű negatív mennyiséggé lenne tehető; következésképpen Sm-nek nem lenne minimuma, pedig azt a legkisebb hatás elve megköveteli. Ezért a szükségszerűen negatív.

a számértéke a térerősség egységének megválasztásától függ. Megjegyezzük, hogy adott a és adott térerősségegység mellett minden más elektromágneses mennyiség egysége meghatározott.

A továbbiakban a Gauss-féle egységrendszert használjuk; ebben a dimenziótlan mennyiség, értéke –1∕16π.[32]

A mező hatásfüggvénye tehát

4.10. egyenlet - (27.4)

S m = 1 1 6 π c F i k F i k d Ω , d Ω = c d t d x d y d z .

Háromdimenziós alakban:

4.11. egyenlet - (27.5)

S m = 1 8 π ( E 2 H 2 ) d V d t .

Más szóval a mező Lagrange-függvénye:

4.12. egyenlet - (27.6)

L m = 1 8 π ( E 2 H 2 ) d V .

Az elektromágneses tér és a benne levő töltések teljes hatásfüggvénye tehát

4.13. egyenlet - (27.7)

S = m c d s e c A k d x k 1 1 6 π c F i k F i k d Ω .

Megjegyezzük, hogy a töltéseket már nem tekintjük kicsiknek, mint a mozgásegyenlet levezetésekor. Ezért Ak és Fik a valódi mezőre vonatkoznak, tehát a külső mezőre és a töltések mezőjére együtt; Ak és Fik most a töltések helyzetének és sebességének függvényei.



[31] Sm integrandusa nem tartalmazhatja Fik deriváltjait, mivel a Lagrange-függvényben a rendszer koordinátáin kívül csak azok idő szerinti első differenciálhányadosai szerepelhetnek, a variálandó változók szerepét pedig ebben az esetben a tér Ak potenciáljai játsszák; ez azzal analóg, hogy a mechanikában a mechanikai rendszerek Lagrange-függvénye csak a részecske koordinátáit és azok idő szerint képzett első differenciálhányadosait tartalmazza.

Az eiklmFikFlm (25. §) mennyiség (amint azt a  25. §  9 számú lábjegyzetében említettük) teljes négyesdivergencia, ezért ha szerepel is Sm integrandusában, ez a „mozgásegyenletekben” nem tükröződik. Érdekes, hogy már ez is kizárja a hatásfüggvényből attól függetlenül, hogy nem valódi, hanem pszeudoskalár.

[32] A Gauss-egységrendszeren kívül használják az ún. Heaviside-félét is, amelyben a=–1∕4. Ebben a téregyenletek alakja egyszerűbb (4π nem szerepel bennük), a 4π osztó a Coulomb-törvényben lép fel. A Gauss-egységrendszerben fordított a helyzet.