Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

28 §. Négydimenziós áramvektor

28 §. Négydimenziós áramvektor

A kényelmes matematikai leírás kedvéért gyakran nem pontszerű, hanem a térben folytonosan elosztott töltéseket vizsgálunk. Bevezethető úgy a ϱtöltéssűrűség, hogy a dV térfogatban levő össztöltés ϱdV legyen; ϱ általában a koordináták és az idő függvénye ϱ-nak valamilyen térfogatra vett integrálja megadja a térfogatban levő össztöltést.

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a valóságban a töltések pontszerűek, ezért ϱ mindenhol nulla, kivéve a töltések helyét, az ∫ϱdV integrál pedig az adott térfogatban levő töltések összegével egyenlő. Ezért a ϱ sűrűségδ-függvények[33] segítségével írható fel a következő alakban:

4.19. egyenlet - (28.1)

ϱ = a e a δ ( r r a ) ,

ahol az összegezésben mindegyik töltés szerepel, ra az ea töltés helyzetvektora.

A részecske töltése a definíció szerint invariáns mennyiség, független a koordináta- rendszer választásától. A ϱ sűrűség ellenben nem invariáns, csak a ϱdV szorzat.

Szorozzuk meg a de=ϱdV egyenlőség mindkét oldalát dxi-vel:

d e d x i = ϱ d V d x i = ϱ d V d t d x i d t .

A bal oldalon négyesvektor áll (de skalár, dxi négyesvektor). Négyesvektornak kell lennie a jobb oldalon is. dVdt skalár, ezért ϱ(dxi/dt) négyesvektor. Neve négyes áram(sűrűség-)vektor:

4.20. egyenlet - (28.2)

j i = ϱ d x i d t .

A három térszerű komponens a

4.21. egyenlet - (28.3)

j = ϱ v

háromdimenziós vektort alkotja. v a töltés sebessége az adott pontban. j neve: áramsűrűség-vektor. A négyes áramvektor időszerű komponense cϱ. Így

4.22. egyenlet - (28.4)

j i = ( c ϱ , j ) .

Az össztöltést a teljes térre vett ∫ϱdV integrál adja. Ezt felírhatjuk négydimenziós alakban:

4.23. egyenlet - (28.5)

ϱ d V = 1 c j 0 d V = 1 c j i d S i ,

ahol az integrálást az x0 tengelyre merőleges négydimenziós hipersíkra kell elvégezni. (Nyilvánvaló, hogy ez a teljes háromdimenziós térre vett integrálást jelenti.) A tetszőleges hipersíkra vett (1/c)∫jidSi integrál általában azoknak a töltéseknek az összegét adja, amelyek világvonala metszi az adott hipersíkot.

A hatás (27.7) kifejezésébe beírjuk az áram négyesvektorát, és átalakítjuk a második tagot. Az e ponttöltések helyett a ϱ sűrűségű folytonos eloszlást bevezetve, a második tag a következő alakban írható:

1 c ϱ A i d x i d V ,

a töltésekre való összegezést most a teljes térfogatra vett integrálás helyettesíti. A kifejezést a

1 c ϱ d x i d t A i d V d t ,

alakban írva:

1 c 2 A i j i d Ω .

Így az S hatás alakja a következő:

4.24. egyenlet - (28.6)

S = m c d s 1 c 2 A i j i d Ω 1 1 6 π c F i k F i k d Ω .



[33] A δ(x) függvény meghatározása a következő: δ(x)=0, ha x≠0; x=0 esetén δ(0)=∞, úgyhogy

4.14. egyenlet - (1)

+δ(x)dx=1.


A definícióból a következő tulajdonságok adódnak: tetszőleges f(x) függvényre fennáll, hogy

4.15. egyenlet - (2)

+f(x)δ(xa)dx=f(a);


speciálisan

4.16. egyenlet - (3)

+f(x)δ(x)dx=f(0);


(az integrálás határai nem szükségszerűen ±∞; megfelel bármely tartomány, amely tartalmazza azt a pontot, amelyben a δ-függvény nem tűnik el).

A most következő egyenlőségeket úgy kell érteni, hogy bal és jobb oldalukat integráljel alatt szorzótényezőként alkalmazva, azonos eredmény adódik:

4.17. egyenlet - (4)

δ(x)=δ(x),δ(ax)=1|a|δ(x).


A második egyenlőség a következő általánosabb összefüggés speciális esete:

4.18. egyenlet - (5)

δ[φ(x)]=i1|φ(a)i|δ(xai),


ahol φ(x) egyértékű függvény (inverz függvénye nem kell, hogy egyértékű legyen), ai pedig a φ(x)=0 egyenlet gyöke.

Az egyváltozós δ(x) definíciójához hasonlóan bevezethető a δ(r) háromdimenziós függvény, mely a háromdimenziós koordináta-rendszer kezdőpontját kivéve, mindenhol nulla, a függvény teljes térre vett integrálja 1. δ(r) felírható a δ(x),δ(y),δ(z) szorzatalakban.